Cálculo de base dual

De Laplace

Revisión a fecha de 09:11 26 sep 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Carácter de base
3 Ortogonalidad
4 Componentes de un vector
5 Caso particular
6 Ejemplo de cálculo de componentes

1 Enunciado

Sea $B_1=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}$ una base vectorial arbitraria. Sean $\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}$ tres vectores definidos por

$\vec{w}_1=\frac{\vec{v}_2\times\vec{v}_3}{\Delta}$ $\vec{w}_2=\frac{\vec{v}_3\times\vec{v}_1}{\Delta}$ $\vec{w}_3=\frac{\vec{v}_1\times\vec{v}_2}{\Delta}$ $\Delta =\vec{v}_1\cdot(\vec{v}_2\times\vec{v}_3)$

1. Demuestre que el conjunto $B_2=\{\vec{w}_1,\vec{w}_2,\vec{w}_3\}$ es también una base (llamada base dual de

B 1

). ¿Cuánto vale el producto mixto de sus vectores?

2. Pruebe que se cumple

$\vec{v}_i\cdot\vec{w}_k=\begin{cases} 1 & i = k \\ 0 & i\neq 0\end{cases}$

3. Demuestre que las componentes de un vector en la base

B 1

pueden calcularse proyectando sobre la base

B 2

, esto es, si

$\vec{F} = F_1\vec{v}_1 + F_2\vec{v}_2 + F_3\vec{v}_3$

la componente k viene dada por

$F_k = \vec{F}\cdot\vec{w}_k$

4. Halle la base dual de la base

$B_1 =\{\vec{\imath},\vec{\imath}+\vec{\jmath},\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\}$

5. Calcule las componentes del vector

$\vec{F} = 2\vec{\imath}-3\vec{\jmath}+\vec{k}$

en las bases del apartado anterior.

2 Carácter de base

3 Ortogonalidad

4 Componentes de un vector

5 Caso particular

6 Ejemplo de cálculo de componentes

Cálculo de base dual

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1 Enunciado

2 Carácter de base

3 Ortogonalidad

4 Componentes de un vector

5 Caso particular

6 Ejemplo de cálculo de componentes

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