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4.7. Ejemplo de movimiento de precesión

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

El movimiento de precesión de una peonza puede describirse como una rotación en torno a un eje instantáneo que a su vez está rotando, manteniéndose fijo el punto de apoyo. Supongamos el caso particular

\vec{v}^O = \vec{0}        \vec{\omega}=3\cos(t)\vec{\imath}+3\,\mathrm{sen}\,(t)\vec{\jmath}+4\vec{k}
  1. Determine el campo de velocidades del sólido.
  2. Determine el campo de aceleraciones del sólido. ¿Es la aceleración de un punto igual a la derivada de la velocidad en ese punto respecto al tiempo?
  3. Halle, para cada instante las componentes intrínsecas de la aceleración y el radio de curvatura de los puntos
\overrightarrow{OA}=5\vec{k}\qquad \overrightarrow{OB}=5\vec{\imath}

2 Campo de velocidades

Por tratarse de una rotación pura

\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^O}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}=\vec{\omega}\times\vec{r}= \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}\\ 3\cos(t) & 3\,\mathrm{sen}(t) & 4 \\ x & y & z\end{matrix}\right|

Separando en componentes cartesianas

\begin{matrix} v_x & = & \omega_y z - \omega_z y & = &3z\,\mathrm{sen}(t)-4y\\ v_y & = & \omega_z x - \omega_x z & = &4x - 3z\cos(t)\\ v_z & = & \omega_x y - \omega_y x & = &3y\cos(t)-3x\,\mathrm{sen}(t) \end{matrix}

3 Campo de aceleraciones

El campo de aceleraciones tiene la expresión general

\vec{a}^P = \vec{a}^O + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OP}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP})

En este caso la aceleración de O es nula, por estar permanentemente en reposo, mientras que la aceleración angular vale

\vec{a}^O = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}        \vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}=-3\,\mathrm{sen}(t)\vec{\imath}+3\cos(t)\vec{\jmath}

Sustituyendo y separando en componentes cartesianas obtenemos

\begin{matrix} a_x & = & -16x + 15z\cos(t)+9 y \cos(t)\,\mathrm{sen}(t)-9 x \,\mathrm{sen}^2(t)\\ && \\ a_y & = & -16 y-9 y \cos^2(t)+15 z \,\mathrm{sen}(t)+9 x \cos(t) \,\mathrm{sen}(t)\\ && \\ a_z & = & 9 x \cos(t)-9 z \cos^2(t)+9 y \,\mathrm{sen}(t)-9 z \,\mathrm{sen}^2(t) \end{matrix}

Puede comprobarse de manera inmediata que

a_x \neq \frac{\partial v_x}{\partial t}=3z\cos(t)

y lo mismo para el resto de las componentes: la aceleración de un punto no es igual a la derivada de la velocidad instantánea de dicho punto respecto al tiempo. La razón es que al tener una velocidad no solo cambia la velocidad porque varía t. También x, y y z varían al desplazarse la partícula y por tanto deben ser incluidas en la derivación respecto al tiempo mediante la regla de la cadena.

4 Componentes intrínsecas

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