Movimiento helicoidal de un sólido rígido

De Laplace

Revisión a fecha de 20:49 27 jul 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Consideremos ahora el caso más general en que ni $\vec{v}_0$ ni $\vec{\omega}$ son nulos, pero sí paralelos:

$\vec{v}_0 = \alpha\vec{\omega}$

Este campo de velocidades posee una serie de propiedades:

Existe una recta, paralela a la velocidad angular, tal que la velocidad de sus puntos posee módulo mínimo y dirección la de la propia recta (eje instantáneo de rotación y mínimo deslizamiento, EIRMD).
El EIRMD pasa por el origen de coordenadas y tiene la dirección de la velocidad angular.
Todos los puntos situados a la misma distancia de este eje poseen la misma celeridad.
La proyección de la velocidad de cada punto sobre la velocidad angular es la misma para todos los puntos.
La velocidad de todos los puntos situados a la misma distancia forma el mismo ángulo con la velocidad angular.
El sentido de la velocidad cumple la regla de la mano derecha respecto a la velocidad angular.

Consideremos en primer lugar la velocidad del origen de coordenadas.

$\vec{v}(\vec{0}) = \vec{v}_0$

Por tanto $\vec{v}_0$ representa la velocidad con la que se mueve el origen de coordenadas.

Si ahora consideramos un punto situado en la recta que pasa por el origen y con la dirección dada por la velocidad angular

$\vec{r}=\lambda\vec{\omega}$

La velocidad de estos puntos es

$\vec{v}(\lambda\vec{\omega})=\vec{v}_0+\omega\times(\lambda\vec{\omega}=\vec{v}_0$

esto es, todos se mueven con la misma velocidad y además esta velocidad va en la dirección de la recta que une los puntos.

Si ahora consideramos un punto fuera de esta recta y situado a una distancia $d$ de ella, su velocidad será

$\vec{v}=\overbrace{\vec{v}_0}^{\parallel\vec{\omega}} +\overbrace{\vec{\omega}\times\vec{r}}^{\perp\vec{\omega}}$

Al ser las dos componentes perpendiculares entre sí, el módulo de este vector es

$v = \sqrt{v_0^2+ |\vec{\omega}\times\vec{r}|} = \sqrt{v_0^2+\omega^2d^2}$

De este resultado extraemos dos conclusiones:

Todos los puntos situados a la misma distancia del eje tienen la misma celeridad.
Esta celeridad es mínima en el propio eje ( $d = 0$ ).

La proyección de la velocidad en la dirección de la velocidad angular es

$\mathrm{proy}_\parallel\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{\omega}}{\omega}=\frac{\vec{v}_0\cdot\vec{\omega}}{\omega}$

Al depender solo de los vectores $\vec{v}_0$ y $\vec{\omega}$ , esta proyección es la misma para todos los puntos. En este caso, además, al tratarse vectores paralelos

$\mathrm{proy}_\parallel\vec{v}=\frac{v_0\omega}{\omega}=v_0$

En cuanto al ángulo que forma la velocidad con la velocidad angular tenemos

$\cos\theta = \frac{\vec{v}\cdot\vec{\omega}}{v\omega}=\frac{v_0\omega}{\sqrt{v_0^2+\omega^2d^2}\omega}=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+\omega^2d^2}}$

Equivalentemente, el ángulo verifica

$\mathrm{tg}\,\theta = \frac{\omega d}{v_0}$

Este ángulo es nulo si $d = 0$ , lo que de nuevo nos dice que en los puntos del eje la velocidad es paralela a la velocidad angular. A medida

Como en el caso de la rotación pura, dos puntos situados sobre la misma vertical tienen la misma velocidad, aunque en este caso el movimiento no esté limitado a un plano.

$\vec{r}_2 = \vec{r}_1+\lambda\omega$ $\Rightarrow$ $\vec{v}(\vec{r}_2)=\vec{v}(\vec{r}_1)$

Por último, el sentido de la velocidad cumple la regla de la mano derecha respecto a la velocidad angular.

Este movimiento se denomina movimiento helicoidal (o de tornillo) porque si uno traza las líneas de corriente (tangentes a la velocidad en cada punto), obtiene hélices que avanzan a la vez que giran en torno al EIRMD. Esto NO quiere decir que el movimiento de cada partícula sea helicoidal, ya que

$\vec{v}_0=\vec{v}_0(t)$ $\vec{\omega}=\vec{\omega}(t)$

y por tanto, el EIRMD y la dirección de la velocidad de cada partícula puede cambiar continuamente.

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