Ejemplos de superficies equiescalares

De Laplace

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Contenido

1 Superficies de fase constante
2 Un campo inversamente proporcional a la distancia
3 Simetría traslacional
4 Simetría acimutal
5 Un ejemplo aparentemente más complicado

1 Superficies de fase constante

En el estudio de la ondas electromagnéticas aparecen frecuentemente las superficies de fase constante, que son las equiescalares de la fase de oscilación de la onda en cada punto. En el caso particular de las ondas planas, estas superficies verifican

$\varphi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}$

donde $\mathbf{k}\,$ es un vector constante (el vector de onda) y $\mathbf{r}\,$ es el vector de posición. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que $\mathbf{k}\,$ tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.

Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje $OZ\,$ apuntando en la dirección de $\mathbf{k}\,$ , de forma que este vector se escribe

$\mathbf{k} = k\,\mathbf{u}_z$

y el campo escalar $\varphi\,$ es simplemente

$\varphi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\, = kz$

por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos entre sí

$\varphi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad z = \mathrm{cte}$

Estos planos son perpendiculares al eje $OZ\,$ . Por tanto, las superficies de fase constante de $\varphi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\,$ son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector $\mathbf{k}\,$ .

2 Un campo inversamente proporcional a la distancia

En el estudio del potencial eléctrico de cargas puntuales, aparece el campo escalar

$\phi = k\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}$

donde $k\,$ y $q\,$ son constantes, $\mathbf{r}\,$ es el vector de posición (variable) y $\mathbf{r}_0\,$ un punto fijo. Las superficies equiescalares verifican

$\phi = V = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right| = \frac{kq}{V} =\mathrm{cte}$

Por definición, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo forman una superficie esférica. El centro será el punto $\mathbf{r}_0\,$ y el radio $kq/V\,$ .

Puesto que el centro es el mismo para todas las esferas, mientras que el radio depende del valor del potencial, resulta que las superficies equiescalares constituyen una familia de esferas concéntricas.

3 Simetría traslacional

El campo $\phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,$ es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, sus superficies equiescalares no son la suma de nada, ya que no se pueden sumar planos con esferas.

Si, como en el ejemplo anterior, tomamos el eje $OZ\,$ como el que apunta en la dirección de $\mathbf{A}\,$ , podemos escribir el campo en cartesianas como