Campo magnético de una esfera rotatoria

De Laplace

Revisión a fecha de 13:49 19 abr 2009; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Densidad de corriente
3 Campo en el eje
4 Momento dipolar
5 Campo en todo el espacio

1 Enunciado

Una esfera de radio $a$ almacena una carga $Q$ distribuida uniformemente en su superficie. La esfera gira con velocidad angular $ω$ alrededor de un eje.

Determine la densidad de corriente en la esfera
Calcule, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de rotación.
Calcule el momento dipolar magnético de la esfera. A partir de aquí, halle el campo en puntos alejados de la esfera, no necesariamente en el eje.
Halle, resolviendo las ecuaciones de la magnetostática, el campo en todos los puntos del espacio.

2 Densidad de corriente

Puesto que la densidad de carga se encuentra sobre la superficie de la esfera, la densidad de corriente resultante va a ser una superficial, $\mathbf{K}$ . Si tenemos una distribución de carga superficial fijada en un sólido, el cual se mueve con velocidad $\mathbf{v}$ , la densidad de corriente será

$\mathbf{K}=\sigma_s\mathbf{v}\,$

puesto que todos los portadores de carga de un elemento de superficie se mueven con la misma velocidad.

Para el caso de distribución uniforme

$\sigma_s=\frac{Q}{4\pi a^2}$

y un movimiento de rotación, empleando coordenadas esféricas

$\mathbf{v}=\mathbf{w}\times\mathbf{r}=(\omega \mathbf{u}_z)\times(a\mathbf{u}_{r'})=\omega a\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\varphi'}$

y esto nos da la densidad de corriente

$\mathbf{K}=\frac{Q\omega}{4\pi a}\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\varphi'}=K_0\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathbf{u}_{\varphi'}$

3 Campo en el eje

Podemos calcular el campo integrando desde el principio, con ayuda de la ley de Biot y Savart

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \mathbf{K}\times\frac{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}S'$

No, obstante, para evitar cálculos repetitivos, podemos hacer uso de resultados conocidos. Si cortamos la esfera mediante planos perpendiculares al eje de giro, la reducimos a un conjunto de espiras circulares, cada una de las cuales produce un campo conocido. Superponiendo el campo de las espiras diferenciales obtendremos el campo de la esfera completa.

El campo de una espira circular situada en el plano $z' = 0$ es

$\mathbf{B}_\mathrm{esp}=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z$

Si no se encuentra en el plano coordenado sino a una altura $z'$ se traslada esta coordenada

$\mathbf{B}_\mathrm{esp}=\frac{\mu_0IR^2}{2(R^2+(z-z')^2)^{3/2}}\mathbf{u}_z$

En nuestro caso, el radio de la espira también depende de la altura a la que se encuentra. De acuerdo con el teorema de Pitágoras

R (z') 2 = a 2 - z' 2

$\Rightarrow$

R 2 + (z - z') 2 = a 2 + z 2 - 2 z z'

4 Momento dipolar

4.1 A partir de la corriente

El momento dipolar magnético para una distribución de corriente superficial es

$\mathbf{m}=\frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'$

Empleando coordenadas esféricas, cada uno de los términos de esta integral valen

$\mathbf{r}'=a\mathbf{u}_{r'}$ $\mathbf{K}=K_0\,\mathrm{sen}\,\theta'\mathbf{u}_{\varphi'}$ $\mathbf{r}'\times\mathbf{K}'=-K_0a\,\mathrm{sen}\,\theta'\mathbf{u}_{\theta'}$ $\mathrm{d}S'=a^2\,\mathrm{sen}\,\theta'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$

Puesto que se trata de una integral vectorial, hay que pasar a la base cartesiana, ya que, en esféricas,

Los vectores de la base dependen de la posición

Aplicamos que

$\mathbf{u}_{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathrm{sen}\,\varphi\mathbf{u}_{y}-\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_{z}$

y la integral se puede descomponer en esta base

$\mathbf{m}=m_x\mathbf{u}_x+m_y\mathbf{u}_y+m_z\mathbf{u}_z$

con

$m_x=-\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\,\mathrm{sen}^2\theta'\cos\theta'\,\cos\varphi'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$ $m_y=-\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\,\mathrm{sen}^2\theta'\cos\theta'\,\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$ $m_z=\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\pi\,\mathrm{sen}^3\theta'\,\mathrm{d}\theta'\,\mathrm{d}\varphi'$

las dos primeras integrales se anulan ya que

$\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\cos\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=\int_0^{2\pi}\!\!\!\mathrm{sen}\,\varphi'\,\mathrm{d}\varphi'=0$

La tercera componente se convierte en un producto de dos integrales independientes

$m_z=\frac{K_0a^3}{2}\int_0^{2\pi}\!\!\!\!\mathrm{d}\varphi'\int_0^\pi\!\!\mathrm{sen}^3\theta'\,\,\mathrm{d}\theta'=\frac{K_0a^3}{2}(2\pi)\left(\frac{4}{3}\right)$

Simplificando nos queda el momento dipolar magnético

$\mathbf{m}=\frac{4\pi K_0a^3}{3}\mathbf{u}_z=\frac{Q\omega a^2}{3}\mathbf{u}_z$

4.2 A partir del campo magnético

4.3 Campo lejos de la esfera

5 Campo en todo el espacio

Campo magnético de una esfera rotatoria

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

2 Densidad de corriente

3 Campo en el eje

4 Momento dipolar

4.1 A partir de la corriente

4.2 A partir del campo magnético

4.3 Campo lejos de la esfera

5 Campo en todo el espacio

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