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Generalización del teorema de Stokes

De Laplace

Contenido

1 Teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece que, dada una curva cerrada Γ, la circulación de un campo vectorial \mathbf{F} equivale al flujo de su rotacional a través de una superficie S arbitraria con Γ como borde, y orientada según la regla de la mano derecha

\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} = \int_S \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})

Este teorema es sólo uno de una familia de teoremas de estructura similar.

2 Generalización a un campo escalar

La primera generalización viene de considerar la integral vectorial

\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi

Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar φ en cada punto de Γ multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva.

La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie S apoyada en Γ. Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad

\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi

Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante \mathbf{u}

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi

El vector puede entrar en la integral por ser constante. Ahora sí tenemos una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}\phi)=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{u}\phi)

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{(\nabla\times\mathbf{u})}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}

Sustituyendo en la expresión anterior

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\phi\times\mathbf{u})

Aplicando ahora la propiedad del producto mixto

\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}

nos queda

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}

Usando de nuevo el que \mathbf{u} es un vector constante

\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi\right)

y, puesto que esta identidad se verifica sea cual sea el vector \mathbf{u}, debe cumplirse que, finalmente,

\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi

3 Generalización a un producto vectorial

4 Expresión general

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