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Movimiento cicloidal (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Un punto exterior de una rueda que rueda sin deslizar describe una cicloide

x=A(\theta-\mathrm{sen}⁡(\theta))\qquad\qquad y=A(1-\cos⁡(\theta))\qquad\qquad z=0
  1. Determine la velocidad y aceleración de la partícula en función de θ y sus derivadas respecto al tiempo. ¿Cuánto valen \vec{v} y \vec{a} en el momento en que el punto se halla en lo más alto de la rueda?
  2. Halle la aceleración tangencial y normal.
  3. Calcule la posición de los centros de curvatura.
  4. Halle la distancia recorrida por el punto cuando la rueda da una vuelta completa.

2 Velocidad y aceleración

Las componentes cartesianas de la velocidad las hallamos aplicando la regla de la cadena

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}

Separando por componentes

\left\{\begin{array}{rcccl} v_x & = & \dot{x} & = & A\dot{\theta}(1-\cos(\theta))\\ v_y & = & \dot{y} & = & A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\\ v_z & = & \dot{z} & = & 0\end{array}\right.

Derivando de nuevo obtenemos la aceleración. Por componentes:

\left\{\begin{array}{rcccl} a_x & = & \dot{v}_x & = & A\ddot{\theta}(1-\cos(\theta))+A\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}(\theta) \\ a_y & = & \dot{v}_y & = & A\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+A\dot{\theta}^2\cos(\theta)\\ a_z & = & \dot{v}_z & = & 0\end{array}\right.

El punto más alto del movimiento se encuentra cuando y es máximo. Esto ocurre cuando cos(θ) = − 1, en que y = 2. lo cual sucede cuando cos(θ) = π. Para este valor

\vec{v}=2A\dot{\theta}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=A\ddot{\theta}\vec{\imath}-A\dot{\theta}^2\vec{\jmath}

3 Aceleración tangencial y normal

3.1 Aceleración tangencial

Para hallar la aceleración tangencial calculamos en primer lugar el vector tangente. Para ello, necesitamos la rapidez del movimiento

|\vec{v}|=\sqrt{A^2\dot{\theta}^2(1-\cos(\theta))^2+A^2\dot{\theta}^2\mathrm{sen}^2(\theta)}=A\dot{\theta}\sqrt{2-2\cos(\theta)}

Este resultado se simplfica empleando las relaciones trigonométricas

1-\cos(\theta)=2\mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\qquad\qquad\mathrm{sen}(\theta)=2\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

4 Centros de curvatura

5 Distancia recorrida

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Movimiento_cicloidal_(CMR)"

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