De Laplace

Revisión a fecha de 20:28 10 abr 2018; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Momento de inercia respecto a un eje
- 2.1 Ejempos de momentos de inercia respecto a un eje
3 Momentos de inercia de cuerpos continuos
4 Tensor de Inercia
5 Diadas
6 Teorema de Steiner para el tensor de inercia
7 Momento de inercia respecto a un eje arbitrario

1 Introducción

El tensor de inercia de un sólido rígido caracteriza la relación entre el momento cinético del sólido respecto a un punto y su vector rotación. Su carácter tensorial se debe a que tanto el momento cinético como el vector rotación son magnitudes vectoriales.

2 Momento de inercia respecto a un eje

Para una partícula de masa $m$ , situada en el punto $P$ y con velocidad $\vec{v}$ , su momento cinético respecto a un punto $O$ es

$\vec{L}_O = \overrightarrow{OP}\times(m\vec{v})$

Supongamos una partícula $m$ que describe una circunferencia de radio $R$ en torno al origen con velocidad angular $\vec{\omega}$ . Su velocidad es

$\vec{v} = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}$

El momento cinético de esta partícula respecto al centro de la circunferencia es perpendicular al plano de ésta y de módulo

$|\vec{L}_{O}| = m|\vec{\omega}||\vec{v}| = mR^2\omega$

Puesto que en este caso el momento cinético tiene la misma dirección y sentido que la velocidad angular, podemos escribir esta expresión en forma vectorial

$\vec{L}_{O} = mR^2\vec{\omega}$

Esta relación entre los vectores rotación y momento cinético es similar a la que existe entre la velocidad y la cantidad de movimiento, $\vec{p}=m\vec{v}$ . El escalar que multiplica al vector rotación, $m R 2$ , es una medida de la inercia de la partícula respecto al movimiento de rotación. Recibe el nombre de momento de inercia de la partícula respecto al eje $Δ$ . El momento de inercia relaciona una magnitud cinemática, $\vec{\omega}$ con una magnitud cinética, $\vec{L}_O$ .

$I Δ = m R 2 .$

Para un sistema de partículas (por ejemplo, un sólido rígido) el momento cinético del sistema respecto de un punto es la suma de los momentos cinéticos de cada una de las partículas que componen el sistema. Supongamos que tenemos un disco que rota con vector rotación $\vec{\omega}$ respecto a un eje perpendicular a él que pasa por su centro.

Cada elemento de superficie del disco, de masa $d m$ , realiza un movimiento circular de radio $r$ y con velocidad

$\vec{v} = \vec{\omega}\times\overrightarrow{OP} = \vec{\omega}\times\vec{r}$

Igual que para la partícula anterior, el momento cinético respecto al centro de disco del elemento de área es

$\mathrm{d}\vec{L}_O = I_{\Delta}\vec{\omega} = \mathrm{d}m\,r^2\vec{\omega}$

El momento cinético del disco es la suma de los momentos cinéticos de todos los elementos de área que se pueden considerar en el disco. Como es un sistema continuo la suma se convierte en integral

$\vec{L}_O = \int\limits_S\mathrm{d}\vec{L}_O = \int\limits_S \mathrm{d}m\,r^2\vec{\omega} = \left(\int\limits_S \mathrm{d}m\,r^2\right)\vec{\omega}$

Hemos usado que el vector rotación es el mismo en todos los puntos del sólido (es el invariante vectorial), y lo sacamos de factor común de la integral. La cantidad entre paréntesis es el momento de inercia del disco respecto al eje $Δ$

$I_{\Delta} = \int\mathrm{d}m \, r^2$

.

Vemos que en este caso se cumple

$\vec{L}_O = I_{\Delta}\vec{\omega},$

es decir, los vectores momento cinético y rotación son paralelos. En este caso esto ocurre porque el eje de rotación es un eje de simetría del sólido. Si este no es el caso los vectores rotación y momento angular no son paralelos. Un ejemplo sencillo donde el momento cinético no es paralelo a la velocidad angular es el de un rotor desequilibrado.

En estos casos todavía existe una relación lineal entre el momento cinético y el vector rotación. Pero para ello, el momento de inercia respecto a un eje, que es una magnitud escalar, se ve sustituida por el Tensor de Inercia (o Matriz de Inercia), $\overset{\leftrightarrow}{I}_O$ . Esta es una magnitud tensorial, de modo que podemos escribir

$\vec{L}_O = \overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega}$

2.1 Ejempos de momentos de inercia respecto a un eje

Varilla homogénea: Una barra de longitud H con una masa M distribuida uniformemente posee un momento de inercia respecto a un eje perpendicular a ella por su centro

$I = \int R^2\,\mathrm{d}m=\int_{-H/2}^{H/2} x^2\,\left(\frac{M}{H}\mathrm{d}x\right)=\frac{MH^2}{12}$

donde hemos aplicado que por ser homogénea

$\mathrm{d}m=\mu\,\mathrm{d}x\qquad\qquad\mu = \frac{M}{L}$

Superficie cilíndrica: Para una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$ , el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

$I_{zz}=\int_M R^2\,\mathrm{d}m = R^2\int_M\,\mathrm{d}m = MR^2$

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Cilindro macizo: Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio $R$ y altura $h$ , su momento de inercia es igual a

$I_{zz}=\int_M r^2\,\mathrm{d}m = \int_V \rho r^2\,\mathrm{d}V$

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio

r

y espesor

d r

, cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

$\mathrm{d}V = S(r)\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,h\,\mathrm{d}r$

Llevando esto al momento de inercia nos queda

$I_{zz} = \int_0^R \rho(r^2)(2\pi\,r\,h)\mathrm{d}r = 2\pi\rho h\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r=\frac{\pi \rho R^4 h}{2}$

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

$\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 h}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{1}{2}MR^2$

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que estos resultados no dependen de la altura del cilindro también son aplicables al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña) y de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

Por su interés, es conveniente tabular casos particulares de momentos de inercia de sólidos homogéneos. Muchos otros pueden hallarse

Sólido	Eje	Momento de inercia
Superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$MR^2\,$
Cilindro macizo de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}MR^2$
Cilindro hueco de radio interior $R 1$ , exterior $R 2$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}M\left(R_1^2+R_2^2\right)$
Varilla rectilínea de longitud $H$	Perpendicular por el centro	$\frac{1}{12}MH^2$
Paralelogramo de lados $b$ y $h$ (incluye cuadrados, rectángulos y rombos)	Perpendicular por el centro	$\frac{M(b^2+h^2)}{12}$
Cubo macizo de arista $R$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{Ma^2}{6}$
Esfera hueca de radio $R$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{3}$
Esfera maciza de radio $a$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{5}$

Vemos que para aquellos que se caracterizan por una sola distancia R (radio, longitud,...), la forma del momento de inercia es

$I=\gamma M R^2\,$

con γ un número que depende del objeto. En particular, para objetos redondos (con R el radio) tenemos

Cuerpo	Cilindro hueco	Cilindro macizo	Esfera hueca	Esfera maciza
$\gamma\,$	$1\,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{5}$

Esto permite estudiar de forma general los problemas de objetos rodantes, suponiendo un cierto factor γ general y luego particularizando

3 Momentos de inercia de cuerpos continuos

Se definen momentos de inercia respecto a ejes, planos y puntos. En todos los casos la definición es similar. Se divide el cuerpo continuo en elementos diferenciales y el integrando se construye multiplicando la masa del elemento diferencial por el cuadrado de la distancia el elemento geométrico respecto al que se define el momento de inercia.

Momentos de inercia respecto a los planos coordenados

En cada caso aparece la distancia del elemento de volumen al plano coordenado correspondiente

$I_1 = \int\mathrm{d}m \, x_1^2, \qquad I_2 = \int\mathrm{d}m \, x_2^2, \qquad I_3 = \int\mathrm{d}m \, x_3^2$

También usaremos la notación con $X Y Z$

$I_x = \int\mathrm{d}m \, x^2 = I_1, \qquad I_y = \int\mathrm{d}m \, y^2 = I_2, \qquad I_z = \int\mathrm{d}m \, z^2 = I_3$

Momentos de inercia respecto a los ejes coordenados

En este caso, en el integrando aparece el cuadrado de la distancia de cada elemento del sólido al eje coordenado correspondiente

$\begin{array}{l} I_{11} = \int\mathrm{d}m \, (x_2^2+x_3^2) = \int\mathrm{d}m\, (y^2+z^2) = I_{xx}, \\ \\ I_{22} = \int\mathrm{d}m \, (x_1^2+x_3^2) = \int\mathrm{d}m\, (x^2+z^2) = I_{yy}, \\ \\ I_{33} = \int\mathrm{d}m \, (x_1^2+x_2^2) = \int\mathrm{d}m\, (x^2+y^2) = I_{zz}. \end{array}$

Momentos de inercia respecto a un punto

Ahora aparece en el integrando la distancia de cada punto del sólido al punto en cuestión. Si el punto es el origen de coordenadas tenemos

$I_O = \int\mathrm{d}m\, (x_1^2+x_2^2+x_3^2) = \int\mathrm{d}m\,(x^2+y^2+z^2) = \int\mathrm{d}m\, r^2.$

Relaciones entre los momentos de inercia respecto a elementos cartesianos

Si los elementos geométricos son los planos y ejes cartesianos pueden demostrarse las siguientes relaciones

$\begin{array}{l} I_{11} = I_2 + I_3, \\ I_{22} = I_1 + I_3, \\ I_{33} = I_1 + I_3, \\ I_{O} = (I_{11} + I_{22} + I_{33})/2. \end{array}$

Las demostraciones son inmediatas. Por ejemplo, para la primera tenemos

$I_2 + I_3 = \int\mathrm{d}m\, x_2^2 + \int\mathrm{d}m\, x_3^2 = \int\mathrm{d}m\,(x_2^2 + x_3^2) = I_{11}.$

Las otras se demuestran de manera similar.

Los momentos de inercia son siempre positivos, pues son sumas de cuadrados.

Productos de inercia

En estas magnitudes aparecen mezcladas las distancias de cada punto del sólido a dos planos coordenados

$P_{12} = \int\mathrm{d}m \, x_1x_2, \qquad P_{13} = \int\mathrm{d}m \, x_1x_3, \qquad P_{23} = \int\mathrm{d}m \, x_2x_3.$

Los productos de inercia pueden ser negativos o positivos. En la notación $X Y Z$ se escribe

$P_{xy} = \int\mathrm{d}m \, xy, \qquad P_{xz} = \int\mathrm{d}m \, xz, \qquad P_{yz} = \int\mathrm{d}m \, yz.$

De las definiciones vemos que se cumple

$P i j = P j i .$

4 Tensor de Inercia

El Tensor de Inercia de un sólido calculado en el origen de un sistema cartesiano de coordenadas es un tensor de orden 2 que puede representarse por la matriz

$\overset{\leftrightarrow}{I}_O = \left[ \begin{array}{ccc} I_{11} & -P_{12} & -P_{13}\\ -P_{21} & I_{22} & -P_{23}\\ -P_{31} & -P_{21} & I_{33} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} I_{xx} & -P_{xy} & -P_{xz}\\ -P_{yx} & I_{yy} & -P_{yz}\\ -P_{zx} & -P_{zy} & I_{zz} \end{array} \right]$

También recibe el nombre de Matriz de Inercia. Es una matriz simétrica, por las relaciones que vimos antes de los productos de inercia.

Para un sólido dado, el Tensor de Inercia es diferente en cada punto el espacio. Podemos definir para cada sólido un campo tensorial, a cada punto del espacio se le asigna un tensor, el Tensor de Inercia del sólido calculado en ese punto.

Como ocurre con los vectores, un tensor no depende del sistema de coordenadas en que se exprese. Esto quiere decir que si el tensor de inercia se expresa en dos sistemas de coordenadas distintos, las matrices que lo representan serán diferentes, pero el tensor en sí no cambia.

El Tensor de Inercia puede expresarse también en formato de índices

$I_{ij} = \int\mathrm{d}\,(r^2\delta_{ij} - x_ix_j), \qquad\qquad i,j = 1,2,3.$

Siendo $r^2=x_1^2+x_2^2 + x_3^2$ y $δ i j$ es la Delta de Kronecker

5 Diadas

Artículo completo: Cálculo con diadas

6 Teorema de Steiner para el tensor de inercia

En muchas ocasiones lo mas sencillo es calcular el Tensor de Inercia de un sólido rígido en su centro de masas. ¿Que ocurre si queremos calcular el Tensor en otro punto del espacio? Para trasladarlo podemos usar el Teorema de Steiner.

Supongamos que conocemos el Tensor de Inercia de un sólido en su centro de masas, $\overset{\leftrightarrow}{I}_G$ . El Tensor de Inercia en otro punto $A$ , de modo que $\vec{R}=\overrightarrow{GA}$ , es

$\overset{\leftrightarrow}{I}_A = \overset{\leftrightarrow}{I}_G + M\,[R^2\overset{\leftrightarrow}{U} - \overset{\leftrightarrow}{R}\overset{\leftrightarrow}{R}]$

Aquí, $M$ es la masa total del sólido. El resultado es independiente del sentido del vector $\vec{R}$ . Es decir, También podemos usar $\vec{R}=\overrightarrow{AG}$ . En notación de indices tenemos, siendo $\vec{R} = [R_1, R_2, R_3]$ ,

$I_{ij}(G) = I_{ij}(A) + M\,(R^2\delta_{ij} - R_iR_j), \qquad i,j = 1,2,3.$

7 Momento de inercia respecto a un eje arbitrario

Una de las aplicaciones del Tensor de Inercia es que nos permite calcula rápidamente el momento de inercia respecto a un eje arbitrario. El momento de inercia respecto a un eje $Δ$ es

$I_{\Delta} = \int\mathrm{d}m\, a^2$

donde $a$ es la distancia de cada punto del sólido al eje $Δ$ .

Si conocemos $\overset{\leftrightarrow}{I}_O$ , siendo $O$ un punto del eje, y la dirección del eje viene dada por el vector unitario $\vec{n}$ , tenemos

$I_{\Delta} = \vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}.$

La demostración es como sigue. Introducimos en esta expresión la definición del Tensor de Inercia en forma diádica

$\begin{array}{rl} \vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n} = & \vec{n}\cdot \left( \overset{\leftrightarrow}{U}\int\mathrm{d}m\,r^2 - \int\mathrm{d}m\,\vec{r}\vec{r} \right) \cdot\vec{n} \\ &\\ =& (\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{U}\cdot\vec{n})\int \mathrm{d}m\,r^2 -\vec{n}\cdot\left(\int\mathrm{d}m\,\vec{r}\vec{r}\right)\cdot\vec{n}\\ &\\ = &\int \mathrm{d}m\,r^2 - \int\mathrm{d}m\,\vec{n}\cdot(\vec{r}\vec{r})\cdot\vec{n}\\ &\\ =& \int \mathrm{d}m\,r^2 - \int\mathrm{d}m\, (\vec{r}\cdot\vec{n})^2\\ &\\ =& \int\mathrm{d}m\,(r^2-(\vec{r}\cdot\vec{n})^2)\\ &\\ =& \int\mathrm{d}m\,a^2. \end{array}$

Vemos en el dibujo que la longitudes $r$ , $(\vec{r}\cdot\vec{n})$ y $a$ forman un triángulo rectángulo.

Tensor de inercia (M.R.)

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1 Introducción

2 Momento de inercia respecto a un eje

2.1 Ejempos de momentos de inercia respecto a un eje

3 Momentos de inercia de cuerpos continuos

4 Tensor de Inercia

5 Diadas

6 Teorema de Steiner para el tensor de inercia

7 Momento de inercia respecto a un eje arbitrario

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