Partícula en una superficie cónica (GIE)

De Laplace

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra obligada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto, de eje vertical y cuyo semiángulo en el vértice mide β. La partícula puede deslizar sin rozamiento sobre esta superficie y está sometido a la acción del peso, que va en la dirección vertical. Se desea que la partícula describa uniformemente circunferencias horizontales a una altura h respecto al vértice. Con ayuda de las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas,

1. ¿Qué rapidez v₀ debe comunicársele a la partícula, en función de la altura h?
2. ¿Cuánto vale, en módulo, la reacción de la superficie cónica en este movimiento?
3. ¿Cuánto vale la proporción E/U entre la energía mecánica y la potencial para este movimiento circular? Tómese como origen de energía potencial el vértice del cono.
4. Exprese, en la base de las coordenadas cilíndricas:
   1. La cantidad de movimiento. ¿Es constante?
   2. El momento cinético respecto a O. ¿Es constante?
   3. La fuerza resultante sobre la partícula
   4. El momento de las fuerzas sobre la partícula.

2 Rapidez

Este problema es, en lo esencial, idéntico al de la Masa girando alrededor de una mano y muy parecido al de curvas y peraltes

La partícula se mueve sometida a la acción de dos fuerzas: el peso

y la reacción de la superficie. Esta se calcula como en el caso de un peralte o el de una masa que da vueltas sujeta a un hilo:

Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal

siendo el radio de la circunferencia

Esto nos da

Separando por componentes, queda, en la dirección vertical

y en la radial

y por tanto la rapidez buscada es

3 Fuerza de reacción

4 Proporción de energía

5 Expresión de cantidades

5.1 Cantidad de movimiento

5.2 Momento cinético

5.3 Fuerza resultante

5.4 Momento de las fuerzas