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Error en el péndulo

De Laplace

1 Enunciado

Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1° (b) 10° (c) 30° (d) 60° (e) 90°.

2 Solución

Un péndulo obedece la ecuación de movimiento

\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\,\mathrm{sen}\,\theta

siendo θ la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación

\mathrm{sen}\,\theta\simeq\theta \qquad\theta\ll 1

lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico

\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2\theta

Cuando parte del reposo, desde una cierta separación θ0, el ángulo sigue una ley cosenoidal

\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,

La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es

v = l\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -l\omega\theta_0\,\mathrm{sen}(\omega t)

El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo

vmax(aprox.) = lωθ0

Por otro lado, esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Error_en_el_p%C3%A9ndulo"

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