Momento y tensor de inercia (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 20:07 26 nov 2016; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Introducción
2 Momento de inercia
3 Teorema de Steiner y de la figura plana
- 3.1 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos
- 3.2 Teorema de la figura plana o de los ejes perpendiculares
4 Producto de inercia
5 El tensor de inercia
6 Producto diádico y tensor de inercia
7 Rotación de ejes
8 Ejes principales y momentos principales de inercia

1 Introducción

2 Momento de inercia

2.1 Respecto a un eje

Dado un sólido rígido, se define su momento de inercia respecto a un eje como la cantidad

$I = \sum_i m_i R_i^2\,$

donde $R i$ es la distancia de una partícula $m 1$ al eje. En el caso de que tengamos una distribución continua, la expresión correspondiente es la integral

$I = \int_M R(\vec{r})^2\,\mathrm{d}m$

donde $R$ será en general diferente para cada elemento de masa $d m$ .

De la definición del momento de inercia se deduce que sus dimensiones son de una masa por una longitud al cuadrado y sus unidades en el SI son kg·m²

En los casos particulares frecuentes de que el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se haga coincidir con uno de los ejes de coordenadas obtenemos los momentos de inercia

$I_{xx}=\int_m(y^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_m(x^2+z^2)\,\mathrm{d}m\qquad I_{zz}=\int_m(x^2+y^2)\,\mathrm{d}m$

Rotor equilibrado

Consideremos un rotor formado por dos masas iguales de valor $m$ situadas en los extremos de una varilla rígida ideal (sin masa) de longitud $H$ con un eje de giro perpendicular a ella y que pasa por su centro. La distancia de cada masa al eje es la mitad de la longitud de la varilla, por lo que

$I = m\left(\frac{H}{2}\right)^2 +m\left(\frac{H}{2}\right)^2 = \frac{mH^2}{2}=\frac{MH^2}{4}\qquad\qquad (M = 2m)$

Varilla homogénea

Una barra de longitud H con una masa M distribuida uniformemente posee un momento de inercia respecto a un eje perpendicular a ella por su centro

$I = \int R^2\,\mathrm{d}m=\int_{-H/2}^{H/2} x^2\,\left(\frac{M}{H}\mathrm{d}x\right)=\frac{MH^2}{12}$

Superficie cilíndrica

Para una superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$ , el momento de inercia respecto al eje del cilindro es, simplemente

$I_{zz}=\int_M R^2\,\mathrm{d}m = R^2\int_M\,\mathrm{d}m = {MR^2}$

ya que todos los puntos se encuentran a la misma distancia del eje.

Puesto que este resultado no depende de la altura del cilindro también es aplicable al caso de un anillo (superficie cilíndrica de altura muy pequeña).

Cilindro macizo

Si en cambio consideramos un cilindro macizo homogéneo de radio $R$ y altura $h$ , su momento de inercia es igual a

$I_{zz}=\int_M {r^2}\,\mathrm{d}m = \int_V \rho r^2\,\mathrm{d}V$

Como elementos de volumen consideramos finas películas cilíndricas de radio $r$ y espesor $d r$ , cada una de las cuales tiene el volumen diferencial

$\mathrm{d}V = {S(r)}\,\mathrm{d}r = 2\pi r\,h\,\mathrm{d}r$

Llevando esto al momento de inercia nos queda

$I_{zz} = \int_0^R \rho\,r^2\,(2\pi\,r\,h)\mathrm{d}r = 2\pi\rho h\int_0^R r^3\,\mathrm{d}r=\frac{\pi \rho R^4 h}{2}$

Vemos que para cilindros del mismo material (con la misma densidad de masa), el momento de inercia va como la cuarta potencia del radio (esto es, doble de radio significa que el momento de inercia se multiplica por 16). Sustituyendo el valor de la densidad de masa

$\rho = \frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^2 h}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{1}{2}MR^2$

El momento de inercia de un cilindro macizo es entonces la mitad del de una superficie cilíndrica de la misma masa y el mismo radio.

Puesto que este resultado no depende de la altura del cilindro también es aplicable al caso de un disco (cilindro macizo de muy pequeño espesor).

2.2 Casos particulares

Por su interés, es conveniente tabular casos particulares de momentos de inercia de sólidos homogéneos. Muchos otros pueden hallarse

Sólido	Eje	Momento de inercia
Superficie cilíndrica de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$MR^2\,$
Cilindro macizo de radio $R$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}MR^2$
Cilindro hueco de radio interior $R 1$ , exterior $R 2$ y altura $h$	El del cilindro	$\frac{1}{2}M\left(R_1^2+R_2^2\right)$
Varilla rectilínea de longitud $H$	Perpendicular por el centro	$\frac{1}{12}MH^2$
Paralelogramo de lados $b$ y $h$ (incluye cuadrados, rectángulos y rombos)	Perpendicular por el centro	$\frac{M(b^2+h^2)}{12}$
Cubo macizo de arista $a$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{Ma^2}{6}$
Superficie esférica de radio $R$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{3}$
Esfera maciza de radio $R$	Cualquiera que pase por su centro	$\frac{2MR^2}{5}$

Vemos que para aquellos que se caracterizan por una sola distancia R (radio, longitud,...), la forma del momento de inercia es

$I=\gamma M R^2\,$

con γ un número que depende del objeto. En particular, para objetos redondos (con R el radio) tenemos

Cuerpo	Cilindro hueco	Cilindro macizo	Esfera hueca	Esfera maciza
$\gamma\,$	$1\,$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{2}{5}$

Esto permite estudiar de forma general los problemas de objetos rodantes, suponiendo un cierto factor γ general y luego particularizando.

2.3 Respecto a un plano

El concepto de momento de inercia se puede generalizar considerando otros tipos de distancias. Así, definimos el momento de inercia respecto a un plano como

$I_\Pi = \sum_i m_i d(P_i,\Pi)^2\,$

Para el caso de los planos coordenados, esto da

$I_x = \sum_i m_i x_i^2\qquad\qquad I_y = \sum_i m_i y_i^2 \qquad\qquad I_z = \sum_i m_i z_i^2$

De esta definición es inmediato que el momento de inercia respecto a un eje se puede poner como suma de los momentos respecto a dos planos ortogonales. Para los planos y ejes coordenados:

$I_{xx}=I_y+I_z \qquad\qquad I_{yy}=I_x+I_z \qquad\qquad I_{zz}=I_x+I_y$

Estas relaciones pueden invertirse para dar

$I_x = \frac{I_{yy}+I_{zz}-I_{xx}}{2}\qquad\qquad I_y = \frac{I_{xx}+I_{zz}-I_{yy}}{2}\qquad\qquad I_z = \frac{I_{xx}+I_{yy}-I_{zz}}{2}$

2.4 Respecto a un punto

De la misma manera, puede definirse el momento de inercia respecto a un punto tomando las distancias a éste. Para el caso del origen de coordenadas

$I_O=\sum_i m_i(x_i^2+y_i^2+z_i^2)\,$

Este momento de inercia se relaciona con los momentos de inercia respecto al origen y a los planos coordenados como

$I_O=\frac{I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}}{2}=I_x+I_y+I_z$

Momento de inercia de una superficie esférica respecto a un diámetro

El momento de inercia respecto a un punto nos permite hallar de forma sencilla el momento de inercia de una esfera respecto a un eje que pasa por su centro. Supongamos una superficie esférica de masa M y radio R centrada en el origen. Por la simetría del sistema, debe ser

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}\qquad\Rightarrow\qquad I_O=\frac{3I_{zz}}{2}\qquad\Rightarrow\qquad I_{zz}=\frac{2}{3}I_O$

Por otro lado, todos los puntos de la superficie se hallan a la misma distancia del origen, por lo que

$I_O=\sum_i m_i R^2 = M R^2\,$

y por tanto

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}=\frac{2}{3}MR^2$

Momento de inercia de una esfera maciza respecto a un diámetro

De la misma manera se halla el momento de inercia para una esfera maciza. Por la simetría tenemos

$I_{zz}=\frac{2}{3}I_O$

Pero ahora no todos los puntos se hallan a la misma distancia. Calculamos el momento de inercia respecto al centro descomponiendo la esfera en cáscaras esféricas de radio $r$ y espesor $d r$ . Para cada cáscara

$\mathrm{d}I_O=r^2 \mathrm{d}M = r^2 \frac{M}{V} 4\pi r^2\,\mathrm{d}r=\frac{3M}{R^3}r^4\,\mathrm{d}r$

Integramos para toda la esfera

$I_O=\frac{3M}{R^3}\int_0^R r^4\,\mathrm{d}r= \frac{3}{5}MR^2$

y por tanto, para una esfera maciza

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}=\frac{2}{5}MR^2$

3 Teorema de Steiner y de la figura plana

3.1 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

El momento de inercia puede definirse respecto a un eje arbitrario, que no necesariamente debe pasar por el centro de masas del sólido. No obstante, los ejes que pasan por el CM tienen propiedades particulares.

Consideremos dos ejes paralelos: uno que pasa por el CM y uno situado a una distancia $d$ del primero. Sea $I G$ el momento de inercia respecto al eje que pasa por el CM e $I$ el momento de inercia respecto al eje paralelo. Buscamos una relación entre estas dos cantidades.

Si consideramos el eje Z como el paralelo al que pasa por el CM el momento de inercia se puede escribir

$I = \sum_i m_i(x_i^2+y_i^2)$

Introduciendo las posiciones relativas al CM

$x_i = x_G + x_i'\qquad y_i = y_G + y_i'\qquad \cdots$

queda

$I=\sum_i m_i(x_G^2+y_G^2) + 2\sum_i m_i(x_Gx'_i+y_Gy'_i)+\sum_i m_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}) = M d^2+ I_G$

donde el término central se anula por ser nula la posición del CM respecto a sí mismo.

Este es el teorema de Steiner o de los ejes paralelos. Nos permite calcular el momento de inercia respecto a un eje arbitrario si conocemos el valor respecto a un eje paralelo que pase por el CM.

Este teorema nos dice que el momento de inercia en ejes paralelos es mínimo en el eje que pasa por el CM (lo cual sirve también como definición del centro de masas).

Varilla homogénea

Por ejemplo, consideremos el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud H alrededor de un eje que pasa por su extremo.

$I= \int_{0}^{H}\frac{M}{H}x^2\,\mathrm{d}x = \frac{MH^2}{3}$

Si hallamos la diferencia con el que calculamos antes para el eje que pasa por el centro

$I - I_G = \frac{MH^2}{3}-\frac{MH^2}{12}= \frac{MH^2}{4}=M\left(\frac{H}{2}\right)^2 = Md^2$

3.2 Teorema de la figura plana o de los ejes perpendiculares

Una sólido puede considerarse plano cuando sus dimensiones en una determinada dirección son mucho más pequeñas que a lo largo de las normales a ella. Es el caso, por ejemplo, de una chapa metálica en forma de disco o el de una varilla.

Si consideramos que la coordenada $z$ es la que tiene espesor despreciable, podemos suponer que $z = 0$ para todos los puntos del sólido. Esto implica que el momento de inercia respecto a este plano es nulo y por tanto

$I_{xx}=\int_M y^2\,\mathrm{d}m\qquad\qquad I_{yy}=\int_M x^2\,\mathrm{d}m \qquad\qquad I_{zz}=\int_M (x^2+y^2)\,\mathrm{d}m$

de donde es inmediato que

$I_{zz} = I_{xx}+I_{yy}\,$

Esta relación permite calcular uno de los momentos de inercia conocidos los otros dos.

Disco homogéneo

Por ejemplo, si deseamos hallar el momento de inercia de un disco circular respecto a un eje diametral podemos aplicar que, por simetría y por el teorema de la figura plana

$\left\{\begin{array}{rcl}I_{xx} &= & I_{yy} \\ && \\ I_{xx}+I_{yy} &= & I_{zz}=\displaystyle\frac{1}{2}MR^2\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad I_{xx}=I_{yy}=\frac{1}{4}{MR^2}$

4 Producto de inercia

5 El tensor de inercia

6 Producto diádico y tensor de inercia

7 Rotación de ejes

8 Ejes principales y momentos principales de inercia

Momento y tensor de inercia (CMR)

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Contenido

1 Introducción

2 Momento de inercia

2.1 Respecto a un eje

2.2 Casos particulares

2.3 Respecto a un plano

2.4 Respecto a un punto

3 Teorema de Steiner y de la figura plana

3.1 Teorema de Steiner o de los ejes paralelos

3.2 Teorema de la figura plana o de los ejes perpendiculares

4 Producto de inercia

5 El tensor de inercia

6 Producto diádico y tensor de inercia

7 Rotación de ejes

8 Ejes principales y momentos principales de inercia

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