Cinemática tridimensional de la partícula (CMR)

De Laplace

Revisión a fecha de 15:10 30 sep 2017; Antonio (Discusión | contribuciones)

(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Velocidad
2 Aceleración

1 Velocidad

Se define la velocidad media en un intervalo de tiempo como el cociente entre el desplzamiento realizado y el intervalo de tiempo empleado en realizarlo.

$\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{t_2-t_1}$

La velocidad instantánea de la partícula es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño

$\vec{v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}$

Es decir, la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo. En Física, las derivadas respecto al tiempo suelen representarse con un punto sobre la magnitud

$\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{r}}$

Si conocemos la velocidad instantánea a lo largo de un intervalo podemos calcular la posición como función del tiempo

$\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}\,\mathrm{d}t$

1.1 Vector tangente

El vector velocidad va en la dirección tangente a la trayectoria. Esto permite definir el unitario tangente

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}$

1.2 Rapidez y distancia recorrida

Al módulo de la velocidad se lo denomina rapidez o celeridad de la partícula. Mide el ritmo con el que se recorre la trayectoria y como tal se relaciona directamente con el parámetro arco

$\left|\vec{v}\right|= \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|= \frac{\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\dot{s}$

Esto permite determinar la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado

$s = s_0+\int_0^t \left|\vec{v}\right|\,\mathrm{d}t$

1.3 Componentes de la velocidad

En un sistema de referencia fijo, los vectores de la base cartesiana son constantes, por lo que

$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}+\dot{z}\vec{k}$

es decir, las componentes de la velocidad son las derivadas de las componentes de la posición.

1.4 Velocidad en función de parámetros

Si la posición no está dada explícitamente en función del tiempo, sino que conocemos la trayectoria en función de un parámetro θ para hallar la velocidad es preciso aplicar la regla de la cadena

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}$

A menudo, la posición no se indica en función de las coordenadas cartesianas, sino como función de 2 o más variables, θ, φ… (denominadas coordenadas generalizadas). En ese caso, se extiende la expresión anterior

$\vec{v}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial \varphi}\, \dot{\varphi}+\cdots$

Si denominamos a las diferentes variables como $q_k\ (k=1,2,\ldots)$ la expresión anterior se escribe

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k$

En ocasiones, la posición se expresa como función del tiempo y de una variable (dependiente implícitamente del tiempo). En ese caso, aplicamos que la derivada del tiempo respecto a sí mismo vale 1 (la velocidad del tiempo es un segundo por segundo) y queda

$\vec{r}=\vec{r}(\theta,t)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$

Nótese la diferencia entre la derivada total (d) y la parcial ( $\partial$ ).

Si depende de varias variables y del tiempo queda la fórmula general

$\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}$

2 Aceleración

2.1 Definición

Se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}$

En una base fija, las componentes de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y la segunda derivada de las de la posición)

$\vec{a}=\dot{v}_x\vec{\imath}+\dot{v}_y\vec{\jmath}+\dot{v}_z\vec{k}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}$

2.2 Componentes intrínsecas

Derivando la expresión de la velocidad como producto de la rapidez y el vector tangente

$\vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}$

queda

$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}+|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}$

El primero de los dos sumandos es paralelo al vector tangente y a la velocidad. El segundo es ortogonal a $\vec{T}$ , por ser éste un vector de módulo constante. Por tanto, la aceleración se puede escribir como suma de una aceleración tangencial, responsable del cambio en la rapidez, y de una aceleración normal, asociada al cambio en la dirección del movimiento.

$\vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}_n=|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}$

Estas dos componentes pueden también hallarse proyectando sobre la velocidad

$\vec{a}_t=\frac{\vec{v}(\vec{a}\cdot\vec{v})}{|\vec{v}|^2}\qquad\qquad\vec{a}_n= \vec{a}-\vec{a}_t=\frac{\vec{v}\times(\vec{a}\times\vec{v})}{|\vec{v}|^2}$

2.3 Triedro de Frenet

Como hemos visto, a partir de la velocidad puede definirse un unitario tangente a la trayectoria

$\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}$

y a partir de la aceleración normal podemos definir un vector unitario normal a la trayectoria

$\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}$

Este vector es siempre ortogonal a la trayectoria y hacia adentro de las curvas que describe.

Completamos un triedro (denominado triedro de $F r e n e t$ ) mediante el producto de estos dos, obteniendo el vector binormal

$\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}$

Cualquier vector puede expresarse como cominación lineal de este triedro

$\vec{A}=A_t\vec{T}+A_n\vec{N}+A_b\vec{B}$

En particular

$\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}$

A diferencia de la base cartesiana, el triedro de Frenet es una función del tiempo, ya que se desplaza y gira con la partícula en su movimiento. Por ello, cualquier derivada respecto al tiempo deberá tener en cuenta las derivadas de estos vectores.

2.4 Curvatura

La curvatura de una trayectoria mide como cambia la dirección de esta. Se define a partir de la derivada del vector tangente como

$\kappa = \frac{1}{|\vec{v}|}\left|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}\right|$

La inversa de la curvatura es el denominado radio de curvatura

$R=\frac{1}{\kappa}$

de forma que la aceleración normal puede escribirse en la forma

$\vec{a}_n=\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N}$

El centro de curvatura se define como el punto móvil

$\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}$

Cinemática tridimensional de la partícula (CMR)

De Laplace

Contenido

1 Velocidad

1.1 Vector tangente

1.2 Rapidez y distancia recorrida

1.3 Componentes de la velocidad

1.4 Velocidad en función de parámetros

2 Aceleración

2.1 Definición

2.2 Componentes intrínsecas

2.3 Triedro de Frenet

2.4 Curvatura

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES