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Deslizamiento y rodadura de un disco

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Por un suelo horizontal se lanza un disco macizo de masa M y radio R. Inicialmente el disco no gira, sino que se desliza con velocidad v0. Si el coeficiente de rozamiento dinámico con el suelo vale μ, ¿cuánto tarda el disco en dejar de deslizar y empezar a rodar sin deslizar? Estudie cómo cambian durante el proceso las siguientes magnitudes:

  1. Velocidad del centro del disco.
  2. Velocidad del punto superior del disco.
  3. Energía cinética de traslación del disco.
  4. Energía cinética de rotación.
  5. Energía cinética total.

¿Cómo cambian los resultados si en lugar de un disco macizo tenemos un aro de radio R? ¿Y si tenemos una bola maciza de radio R?

2 Introducción

Para entender la física del problema es preciso entender que en el disco se producen dos efectos opuestos.

Sobre el disco actúan tres fuerzas

  • Su peso, en la vertical, perpendicular al plano de contacto.
  • La reacción normal del plano
  • La fuerza de rozamiento dinámico, proporcional a la fuerza normal.

De estas, puesto que el movimiento del CM es horizontal, el peso y la reacción normal deben compensarse, por lo que la única fuerza relevante es la de rozamiento dinámico.

Esta fuerza de rozamiento es la que tiene un doble efecto:

  • Por un lado es una fuerza en el sentido opuesto al movimiento, por lo que debe acelerar al CM del disco hacia atrás
  • Por otro, su momento respecto al CM produce un par que hace girar al disco hacia adelante, acelerando al CM hacia adelante.

De la composición de estos dos efectos contrapuestos obtenemos el movimiento del disco. El disco avanza cada vez más lentamente, pero al mismo tiempo gira cada vez más rápido. Llega un momento en que la velocidad del punto de contacto entre el disco y el suelo se anula. En ese momento el disco ya no desliza, solo rueda. A partir de ese instante, ya no hay fuerza de rozamiento dinámíco, sino de rodadura (que es mucho menor) y el movimiento continúa como de solo rodadura. A nosotros nos interesa el proceso hasta ese momento.

3 Tiempo para empezar a rodar

Vamos a calcular la evolución de la velocidad del CM y de la velocidad angular con que gira el disco alrededor de éste. Con estos dos datos, hallamos la velocidad del punto de contacto como función del tiempo. El tiempo hasta que empiece a rodar nos lo da el que esta velocidad se anule.

3.1 Velocidad del centro de masas

La aceleración del centro de masas nos la da el teorema de la cantidad de movimiento

M\vec{a}_C = \sum_i \vec{F}_i = M\vec{g}+\vec{F}_n+\vec{F}_r

Descomponiendo en las componentes X e Y queda

M\vec{a}_C = Ma_C\vec{\imath}\qquad\qquad M\vec{g}=-Mg\vec{\jmath}\qquad\qquad\vec{F}_n = F_n\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{F}_r = -F_r\vec{\imath}

Igualando componente a componente nos quedan las dos ecuaciones escalares

Ma_C = -F_r\qquad\qquad 0 = -Mg + F_n

Por tratarse de una situación de rozamiento dinámico

a_C = -\frac{F_r}{M}=-\frac{\mu F_n}{M}=-\frac{\mu Mg}{M}=-\mu g

Esta aceleración es constante, por lo que su integración nos da una velocidad que disminuye linealmente con el tiempo

v_C = v_0-\mu g t\,

3.2 Velocidad angular

Para hallar la velocidad angular aplicamos el teorema del momento cinético para el centro de masas

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_C}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_C

En el caso del movimiento plano de un disco, su momento cinético es proporcional a su velocidad angular, que apunta en la dirección normal al plano

\vec{L}_C=I\vec{\omega}=I\omega\vec{k}

siendo I el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular por su centro.

I = \frac{1}{2}MR^2

Por tanto nos queda, para el primer miembro

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_C}{\mathrm{d}t} = I\alpha\vec{k}

siendo \alpha = \dot{\omega} la aceleración angular del disco.

Esta cantidad debe ser igual al momento de las fuerzas que actúan sobre el disco

\vec{M}_C = \sum_i \overrightarrow{CP}_i\times\vec{F}_i

Debemos hallar el momento de las tres fuerzas y no solo de la de rozamiento, porque aunque la suma del peso y la fuerza normal sea nula, pueden formar un par de fuerzas no nulo.

  • El momento del peso es nulo, ya que se aplica en el propio centro de masas
\vec{M}_1 = \overrightarrow{CC}\times (M\vec{g}) = \vec{0}
  • El de la fuerza normal también es cero, ya que aunque se aplica en el punto de contacto A, su dirección es la de una recta que pasa por el CM, con lo que el brazo del par es nulo
\vec{M}_2 = \overrightarrow{CA}\times \vec{F}_n = (-R\vec{\jmath})\times(F_n\vec{\jmath})=\vec{0}
  • El de la fuerza de rozamiento es no nulo, ya que se aplica sobre una recta que no pasa por el CM, sino a una distancia R de este.
\vec{M}_3 = \overrightarrow{CA}\times \vec{F}_r = (-R\vec{\jmath})\times(-F_r\vec{\imath})=-F_rR\vec{k}=-\mu M g R\vec{k}

Nos queda entonces la ecuación para la aceleración angular

I\alpha = -\mu M g R\,

cuya integración nos da la velocidad angular, que también varía linealmente con el tiempo

\omega = \omega_0 -\frac{\mu M g R}{I}t

Inicialmente la velocidad angular es nula (el disco solo desliza), por lo que

\omega = -\frac{\mu M g R}{I}t = -\frac{\mu M g R}{MR^2/2}t = -\frac{2\mu g}{R}t

Este resultado implica que aunque inicialmente el disco solo desliza inmediatamente comienza a rotar en sentido horario, como consecuencia del para ejercido por la fuerza de rozamiento.

3.3 Velocidad del punto de contacto

Una vez que tenemos la velocidad de un punto y la velocidad angular podemos hallar la velocidad de cualquier otro. La del punto de contacto con el suelo vale

\vec{v}_A = \vec{v}_C+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CA}

Sustituyendo

\vec{v}_A = (v_0-\mu g t)\vec{\imath}+\left( -\frac{2\mu g}{R}t\vec{k}\right)\times(-R\vec{\jmath}) = \left(v_0-3\mu g t\right)\vec{\imath}

Esta velocidad disminuye linealmente con el tiempo, pero de manera más rápida que la del centro del disco. Se anula cuando

0 = v_0-3\mu g t \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{v_0}{3\mu g}

Este es el tiempo que tarda el disco en empezar a rodar sin deslizamiento (pero no en pararse). No depende ni de la masa ni del radio del disco.

4 Velocidad del centro del disco

5 Velocidad del punto superior

6 Energía cinética de traslación

7 Energía cinética de rotación

8 Energía cinética

9 Caso de un aro

10 Caso de una esfera

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Deslizamiento_y_rodadura_de_un_disco"

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