Cálculo de momentos de inercia

De Laplace

1 Enunciado

Halle los siguientes momentos de inercia de sólidos de densidad homogénea:

1. Una corona cilíndrica de masa M radio interior R₁ y exterior R₂, con altura h, respecto al eje del cilindro.
2. Una corona esférica de masa M, radio interior R₁ y exterior R₂, con respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado en el caso de una esfera maciza y de una superficie esférica?
3. Una placa cuadrada de masa M y lado b respecto a:
   1. Un eje perpendicular a ella y que pasa por el centro.
   2. Un eje que pasa por dos vértices opuestos.
   3. Un eje que pasa por los centros de dos lados opuestos.
4. Un paralelepípedo de masa M y lados a, b y c, respecto a un eje que pasa por los centros de dos caras opuestas.
5. Un péndulo compuesto formado por una barra de longitud H y masa M₁ y un disco de radio R y masa M₂ clavado en un extremo de la barra respecto a un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por el otro extremo de la barra.

2 Introducción

El momento de inercia de un sólido respecto a un eje se define como la cantidad

donde R_i es la distancia de la masa m_i respecto al eje en cuestión. En el caso de una distribución continua, la suma se transforma en la integral correspondiente

En el caso particular de que tomemos como eje Z el que usamos para hallar el momento de inercia, esta integral se expresa

Si se sabe que los sólidos son homogéneos, quiere decir que su densidad de masa es la misma en todos sus puntos

y por tanto, la masa de cada elemento es proporcional al volumen que ocupa

El cálculo del momento de inercia se convierte entonces en el de una integral de volumen (o de superficie para una figura plana)

Sin embargo, el objeto de este problema no es calcular una ristra de integrales dobles o triples. La mayoría de estos momentos de inercia (que son los que aparecen más frecuentemente en problemas diversos) se pueden simplificar notablemente aprovechando las simetrías de la figura, que reducen el cálculo como mucho a una integral de una variable.

3 Corona cilíndrica

4 Corona esférica

5 Placa cuadrada

5.1 Eje perpendicular

5.2 Eje por vértices

5.3 Eje por lados

6 Paralelepípedo

7 Péndulo compuesto