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1.11. Vectores con tres condiciones (Ex.Nov/11)

De Laplace

1 Enunciado

Determine todos los vectores libres que cumplen las tres siguientes condiciones:

1) Tener una longitud de 14 m.

2) Ser ortogonal al vector (3\,\vec{\imath}+\vec{k}\,)\, m.

3) Formar junto a los vectores \,\vec{\imath}\,\, m y \,\vec{k}\, m un paralelepípedo de volumen igual a 6 m3.

2 Solución

Sea el vector \vec{a}=a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k}\,. Exijámosle las tres condiciones dadas (una vez observado que las unidades corresponden al SI, prescindiremos de ellas por comodidad hasta llegar a la solución final).

La longitud de un vector es su módulo. Así que el cuadrado del módulo de \vec{a} debe ser:

a_x^2+a_y^2+a_z^2=(14)^2=196\,

La condición de ortogonalidad entre dos vectores viene dada por la nulidad de su producto escalar:

(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(3\,\vec{\imath}+\vec{k})=3a_x+a_z=0

El volumen del paralelepípedo que tiene a tres vectores por aristas es igual al valor absoluto de su producto mixto:

|(a_x\,\vec{\imath}+a_y\,\vec{\jmath}+a_z\,\vec{k})\cdot(\vec{\imath}\wedge\vec{k})|=|a_y|=6

De la condición 3) deducimos que

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