Campo eléctrico FII GIA

De Laplace

Revisión a fecha de 13:48 16 feb 2011; Pedro (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Ley de Gauss
- 1.1 Flujo eléctrico
- 1.2 Cálculo del campo eléctrico usando la ley de Gauss

1 Ley de Gauss

La ley de Gauss es una de las cuatro leyes de Maxwell, y como tal una de las leyes básicas del Electromagnetismo. Relaciona el flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta encerrada en esa superficie. Está basada en las propiedades de simetría espacial del campo eléctrico.

1.1 Flujo eléctrico

1.1.1 Campo uniforme y superficie perpendicular

Consideremos una región del espacio donde hay definido un campo eléctrico uniforme. Si dibujamos una superficie que sea perpendicular al campo eléctrico, podemos imaginar las líneas de campo eléctrico atravesando esta superficie. Este es el flujo del campo eléctrico. Es similar al flujo de agua a través de la sección de una tubería. Definimos el flujo eléctrico a través de una superficie perpendicular al campo como

$\Phi = E\,A$

siendo $A$ el área de la superficie. El flujo es proporcional al número de líneas de campo eléctrico que atraviesan la superficie.

1.1.2 Campo uniforme y superficie inclinada

Consideramos ahora el caso en el que la superficie no es normal al campo eléctrico. La imagen de la derecha muestra dos superficies $A 1$ y $A 2$ . La primera de ellas es perpendicular al campo, mientras que la segunda está inclinada. Esta inclinación puede medirse como el ángulo $θ$ que forma el vector normal a la superficie, $\hat{\vec{n}}$ con el campo.

Podemos observar que el número de líneas de campo que atraviesan las dos superficies es el mismo. Entonces el flujo a través de la superficie $A 2$ es

$\Phi_2 = \Phi_1 = E\,A_1$

Podemos relacionar el área de las dos superficies usando la figura de la izquierda. Vemos que

$A_1 = b\,a_1 = b\,a_2\cos\theta = A_2\cos\theta$

Por tanto, el flujo a través de la superficie inclinada es

$\Phi_2 = E\,A_1 = E\,A_2\cos\theta$

Esto se puede expresar en forma vectorial usando el vector unitario normal a la superficie. Para una superficie general, tenemos

$\Phi = E\,A\cos\theta = \vec{E}\cdot\hat{\vec{n}}\,A$

1.1.3 Campo no uniforme y superficie arbitraria

En el caso más general el campo eléctrico varía de un punto a otro de la superficie y ésta puede tener cualquier forma. Recurrimos entonces al cálculodiferencial. Dividimos la superficie en elementos de área, cada elemento con un vector normal $\hat{\vec{n}}$ y área $d A$ . El flujo a través de cada elemento es

$\mathrm{d}\Phi = \vec{E}\cdot\hat{\vec{n}}\,\mathrm{d}A$

El flujo a través de toda la superficie es la suma de los flujos a través de cada elemento de área que podemos tomar en ella. Es decir

$\Phi = \int\limits_A \vec{E}\cdot\hat{\vec{n}}\,\mathrm{d}A$

1.1.4 Superficie cerrada

Una superficie cerrada divide al espacio en dos partes, el interior y el exterior. Por convenio, el vector normal a una superficie cerrada se considera positivo cuando apunta hacia el exterior de la superficie. Al calcular el flujo del campo a través de una superficie cerrada se coloca un pequeño círculo en el signo integral

$\Phi = \oint\limits_A \vec{E}\cdot\hat{\vec{n}}\,\mathrm{d}A$

Campo eléctrico FII GIA

De Laplace

Contenido

1 Ley de Gauss

1.1 Flujo eléctrico

1.1.1 Campo uniforme y superficie perpendicular

1.1.2 Campo uniforme y superficie inclinada

1.1.3 Campo no uniforme y superficie arbitraria

1.1.4 Superficie cerrada

1.2 Cálculo del campo eléctrico usando la ley de Gauss

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