5.8. Movimiento del gancho de una grúa
De Laplace
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1 Enunciado
El movimiento del gancho de una grúa se puede describir empleando tres coordenadas: su altura z respecto al suelo, la distancia ρ del carro al mástil de la grúa, y el ángulo 
que gira la pluma alrededor del mástil. En un momento dado se conocen los valores de estas tres coordenadas, así como los de sus derivadas primera y segunda respecto al tiempo. Con esta información determine la velocidad y aceleración de la carga respecto al suelo.
2 Introducción
Este problema ilustra el uso de las llamadas coordenadas cilíndricas, así como de las coordenadas polares, que son una particularización de éstas para el caso bidimensional. Aunque obtendremos los resultados en el contexto del movimiento relativo de las diferentes partes de una grúa, las expresiones resultantes son aplicables en general.
Tenemos aquí cuatro sólidos:
- El mástil “1”
- Es la columna que soporta al resto de la estructura.
- La pluma o flecha “2”
- Es la estructura horizontal sujeta al mástil.
- El carro “3”
- Es la estructura que se desliza sobre la pluma.
- El gancho “4”
- es el extremo del cable que pende del carro.
El movimiento general del gancho se puede escribir por tanto, como una composición de tres movimientos elementales:
- Movimiento {21}
- La pluma rota en torno al mástil.
- Movimiento {32}
- El carro se traslada horizontalmente sobre la pluma.
- Movimiento {43}
- El gancho se traslada verticalmente respecto al carro.
Como sistema de ejes consideraremos uno ligado a la pluma (sólido “2”). Los elementos de este sistema son
- Origen O
- El punto donde el mástil se apoya en el suelo (plano z = 0).
- Eje OZ_2
- El definido por el mástil.
- Eje OX_1
- Uno paralelo a la pluma contenido en el plano z = 0 (y que por tanto gira como la pluma en torno al mástil).
- Eje OY_2
- El ortogonal a los dos anteriores, con la orientación dada por la regla de la mano derecha.
3 Velocidad
Al tratarse de una composición de tres movimientos, la velocidad del gancho G respecto al suelo se escribirá como la suma
Sin embargo, a la hora de abordar un problema donde hay más de tres sólidos implicados, la mejor estrategia consiste no en componerlos todos a la vez, sino en irlos componiendo progresivamente, de forma que calculamos la velocidad en varias etapas. En este caso, podemos hallarla como
