Teorema de Poynting para un condensador

De Laplace

Revisión a fecha de 12:41 2 jun 2008; Gonfer (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuentra lleno de un material óhmico, de permitividad $\varepsilon$ , conductividad

σ

, y permeabilidad magnética

μ

. El radio de las placas es

b

, y la distancia entre ellas es

a

( $a\ll b$ ). La placa superior está permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensión

V (t)

.

Despreciando los efectos de borde y la inducción electromagnética, halle el campo eléctrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas.
Calcule el campo magnético entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ .
Halle el vector de Poynting en el espacio entre las placas, así como su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio $b$ y altura $a$ , concéntrica con el sistema.
¿A qué equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qué caso es nulo? ¿Qué representa este caso?

2 Solución

2.1 Campo eléctrico y corriente

Si despreciamos los efectos de borde y los efectos de la inducción electromagnética, el campo eléctrico en este sistema es análogo al de un condensador de placas planas y paralelas en electrostática

$\mathbf{E}=\frac{V(t)}{a}\mathbf{u}_{z}$

Una vez conocido el campo eléctrico el cálculo de la corriente es inmediato. En este caso tenemos dos densidades de corriente :

2.1.1 Corriente de conducción

Verifica la ley de Ohm

$\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}=\frac{\sigma V}{a}\mathbf{u}_{z}$

2.2 Corriente de desplazamiento=

$\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\frac{\varepsilon}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\mathbf{u}_{z}$

Ambas corrientes van en la dirección perpendicular a las placas.

Estas expresiones nos permiten comparar la importancia relativa de la corriente de desplazamiento frente a la de conducción en un medio óhmico. Supongamos que $V(t)$ varía sinusoidalmente. Las corrientes serán

$\mathbf{J}_c=\sigma\frac{V_0}{a}\mathrm{sen}(\omega t)\mathbf{u}_{z}\qquad \mathbf{J}_d=\varepsilon_0\frac{V_0}{a}\omega\cos(\omega t)\mathbf{u}_{z}$

La importancia relativa será

$\frac{J_d}{J_c}=\frac{\varepsilon_0\omega}{\sigma}=\omega \tau$

Esta cantidad es dependiente de la frecuencia no sólo por que aparece en la expresión, sino porque $\varepsilon$ y $σ$ dependen también de ella. Para frecuencias bajas, la corriente de desplazamiento es mucho más pequeña que la de conducción. Por ejemplo, para el agua de mar,

$\varepsilon\simeq 7\times 10^{-10}\, \frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}\qquad \sigma\simeq 4\,\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{m}}$

para una frecuencia $f=50\,\mathrm{Hz}$ resulta

$\frac{J_d}{J_c}\simeq \frac{7\times 10^{-10} {\cdot}2{\cdot}\pi{\cdot} 50}{4}\simeq 5.5\times 10^{-8}$

esto es, que la corriente de conducción es veinte millones de veces más grande que la de desplazamiento. Para el agua destilada $\sigma\simeq 10^{-4}\,\mathrm{S}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}$ esta proporción disminuye, pero aun sigue siendo una diezmilésima. Hay que aumentar la frecuencia hasta los megahercios para que sea realmente apreciable.

En un medio conductor, como el cobre $\sigma\simeq 5.7\times 10^{7}\,\mathrm{S}{\cdot}\mathrm{m}^{-1}$ la corriente de desplazamiento es absolutamente despreciable incluso a muy altas frecuencias.

2.3 Campo magnético

El campo magnético es debido a las dos corrientes anteriores. Por la simetría del sistema, se deduce que debe ser de la forma

$\mathbf{H}=H(\rho)\mathbf{u}_{\varphi}$

análogamente al caso de un cable cilíndrico o de un condensador sin pérdidas.

Si aplicamos la ley de Ampère--Maxwell en medios materiales

$\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=I_c+I_d$

a una circunferencia concéntrica con el eje del sistema tenemos por un lado

$\oint \mathbf{H}{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{r}=2\pi\rho H(\rho)$

y, por otro,

$I_c+I_d=\int\left(\mathbf{J}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right){\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}= \left(\frac{\sigma V}{a}+\frac{\varepsilon}{a}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}\right)\pi \rho^2$

En las dos integrales anteriores hemos aplicado que los integrandos son uniformes en el dominio de integración. Igualando los dos miembros resulta, para el campo magnético