Cinemática del tiro parabólico

De Laplace

Revisión a fecha de 18:39 21 jun 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Posición, velocidad y aceleración
3 Celeridad y vector tangente
- 3.1 Celeridad

1 Enunciado

Supóngase el movimiento de un proyectil, dado en coordenadas cartesianas por

$x=(v_0\cos\alpha)t\,$ $y=0\,$ $z=(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2$

Determine el vector de posición, la velocidad y la aceleración en cada instante.
Calcule la celeridad y el vector tangente en el instante inicial, en el instante en que se encuentra a mayor altura y en el momento en que vuelve a impactar con el suelo.
Halle la aceleración tangencial y la aceleración normal, así como el vector unitario normal en los tres instantes anteriores.
Calcule el radio de curvatura y el centro de curvatura en los mismos tres instantes.

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Vector de posición

Empleando la base cartesiana

$\vec{r}=x\vec{\imath}+y\vec{\imath}+z\vec{k}=(v_0\cos\alpha)t\vec{\imath}+\left((v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right)\vec{k}$

2.2 Velocidad

Derivando el vector de posición respecto al tiempo

$\vec{v}=\dot{\vec{r}}=(v_0\cos\alpha)\vec{\imath}+\left(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt\right)\vec{k}$

2.3 Aceleración

Derivamos la velocidad instantánea respecto al tiempo

$\vec{a}=\dot{\vec{v}}=-g\vec{k}$

La aceleración en este movimiento es constante e igual a la de la gravedad, como corresponde a que la partícula se encuentra en caída libre.

3 Celeridad y vector tangente

Los tres instantes en que debemos calcular las diferentes magnitudes son:

Instante inicial: La partícula despega en $t 1 = 0$ .
Punto de máxima altura: La máxima altura se alcanza cuando $z$ tiene un máximo, esto es, cuando la componente $z$ de la velocidad es nula

$0 = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=v_z = v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha-gt$ $\Rightarrow$ $t_2 = \frac{v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g}$

Punto de impacto: el proyectil choca de nuevo con el suelo cuando $z = 0$ , lo que ocurre en el instante

$(v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2=0$ $\Rightarrow$ $t_3=\frac{2v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha}{g} = 2t_2$

El tiempo que tarda en impactar es el doble del que tarda en llegar al punto más alto, como corresponde a que el movimiento es simétrico respecto a este punto, que es el vértice de la parábola.

La posiciones, velocidades y aceleraciones, en estos tres instantes las hallamos sustituyendo en las ecuaciones anteriores

Instante inicial

$\vec{r}_1=\vec{0}$ $\vec{v}_1=v_0\cos\alpha\vec{\imath}+v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k}$ $\vec{a}_1=-g\vec{k}$

Punto de máxima altura

$\vec{r}_2=\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}+\frac{v_0^2\,\mathrm{sen}^2\alpha}{2g}\vec{k}$ $\vec{v}_2=v_0\cos\alpha\vec{\imath}$ $\vec{a}_2=-g\vec{k}$

Punto de impacto

$\vec{r}_3=\frac{2v_0^2\,\mathrm{sen}\,\alpha\cos\alpha}{g}\vec{\imath}$ $\vec{v}_3=v_0\cos\alpha\vec{\imath}-v_0\,\mathrm{sen}\,\alpha\vec{k}$ $\vec{a}_3=-g\vec{k}$

3.1 Celeridad

la celeridad es el módulo de la velocidad

v = |\vec{v}| = \sqrt

Cinemática del tiro parabólico

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1 Enunciado

2 Posición, velocidad y aceleración

2.1 Vector de posición

2.2 Velocidad

2.3 Aceleración

3 Celeridad y vector tangente

3.1 Celeridad

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