Inducción mutua de dos solenoides cilíndricos
De Laplace
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1 Enunciado
y número de espiras N1 y N2, respectivamente, las cuales están arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a y b (a < b).
- Determine la matriz de inducciones mutuas del sistema.
- Calcule la constante de acoplamiento entre las bobinas.
- Suponga que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿Cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
- Suponga que se conectan en paralelo, ¿cuál es la autoinducción equivalente de la asociación?
2 Solución
2.1 Matriz de inducciones mutuas
Existen tres métodos a la hora de calcular los coeficientes de inducción mutua y autoinducción. Uno es el cálculo directo a partir de la fórmula de Neumann, que no consideraremos por ser extremadamente complicado. El segundo es partir del flujo inducido en cada solenoide por los campos magnéticos propios o ajenos. El tercero es a partir de la expresión de la energía magnética.
Comenzaremos por este último, que es el más sencillo, y luego repetiremos el problema a partir de los flujos.
2.1.1 Cálculo a partir de la energía
Es conocido que un solenoide muy largo de longitud h, radio R, con N espiras por las cuales circula una corriente I produce un campo magnético
- Si ρ < R
- Si ρ > R
En nuestro caso disponemos de dos solenoides, cada uno de los cuales crea su propio campo magnético. Por simple aplicación del principio de superposición resulta
- Si ρ < a
- Si a < ρ < R
- Si b < ρ
donde I1, e I2 son las corrientes que circulan por los solenoides de radios a y b, respectivamente. Aquí hemos hecho uso de que todas las bobinas poseen la misma longitud y el mismo sentido de giro (lo que hace que todos los campos tengan el mismo sentido).
Una vez conocido el campo podemos obtener la energía magnética almacenada a partir de la expresión
Conocido que el campo es uniforme por regiones podemos escribir esta integral como
Desarrollando esta expresión resulta
Comparando este resultado con
resulta la matriz de inducciones mutuas
2.1.2 Cálculo a partir de los flujos
Para calcular los coeficientes de inducción mutua a partir de los flujos, partimos de la expresión 
, o, explícitamente
\Phi_1 & = & L_{11}I_1+L_{12}I_2+L_{13}I_3 \\ \Phi_2 & = & L_{21}I_1+L_{22}I_2+L_{23}I_3 \\ \Phi_3 & = & L_{31}I_1+L_{32}I_2+L_{33}I_3 \end{eqnarray*}
Si suponemos que $I_1=I_2=0$ y sólo circula corriente por la bobina exterior, resultan los coeficientes $L_{13}$, $L_{23}$ y $L_{33}$. En este caso, el campo magnético vale \[ \mathbf{B}=\cases{\dfrac{\muo N I_3}{h}\mathbf{u}_{z} & si $\rho<c$ \cr & \cr 0 & si $\rho>c$} \] \dibujops{b13-16} por lo que el flujo será el correspondiente a sumar las contribuciones de las $N$ espiras que forman cada solenoide, teniendo en cuenta además la superficie de cada una de ellas, esto es \[ \Phi_1=N(\pi a^2) \frac{\mu_0 N I_3}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{13}=\frac{\muo\pi N^2 a^2}{h} \] \[ \Phi_2=N(\pi b^2) \frac{\mu_0 N I_3}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{23}=\frac{\muo\pi N^2 b^2}{h} \] \[ \Phi_3=N(\pi c^2) \frac{\mu_0 N I_3}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{33}=\frac{\muo\pi N^2 c^2}{h} \] Aprovechando la simetría de los coeficientes, con el resultado anterior ya conocemos los coeficientes $L_{31}$ y $L_{32}$, pero podemos hallarlos explícitamente empleando un razonamiento análogo. \dibujops{b13-17} Si es $I_1=I_3=0$, $I_2\neq 0$, a la hora de calcular el flujo sobre una bobina mayor, debe tenerse en cuenta que sólo hay campo dentro de la bobina que crea el campo, y es el área de ésta la que hay que considerar. Queda entonces \[ \Phi_1=N(\pi a^2) \frac{\mu_0 N I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{12}=\frac{\muo\pi N^2 a^2}{h} \] \[ \Phi_2=N(\pi b^2) \frac{\mu_0 N I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{22}=\frac{\muo\pi N^2 b^2}{h} \] \[ \Phi_3=N(\pi b^2) \frac{\mu_0 N I_2}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{32}=\frac{\muo\pi N^2 b^2}{h} \] \dibujops{b13-18} Igualmente resulta cuando la corriente circula por la bobina interior \[ \Phi_1=N(\pi a^2) \frac{\mu_0 N I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{11}=\frac{\muo\pi N^2 a^2}{h} \] \[ \Phi_2=N(\pi a^2) \frac{\mu_0 N I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{21}=\frac{\muo\pi N^2 a^2}{h} \] \[ \Phi_3=N(\pi 1^2) \frac{\mu_0 N I_1}{h}\quad \Rightarrow \quad L_{31}=\frac{\muo\pi N^2 a^2}{h} \] Finalmente, la matriz de inducciones mutuas es \[ \big(L_{ij}\big)=\frac{\mu_o\pi N^2}{h}\pmatrix{ a^2 & a^2 & a^2 \cr a^2 & b^2 & b^2 \cr a^2 & b^2 & c^2} \] Obsérvese como la simetría de la matriz resulta de aplicar razonamientos diferentes a los elementos $L_{ij}$ de los $L_{ji}$ (en un caso es el área la que está limitada, en el otro es el campo magnético).
