Dos partículas unidas por una barra
De Laplace
(→Estado inicial) |
(→Movimiento de cada partícula) |
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| Línea 29: | Línea 29: | ||
El momento angular inicial vale | El momento angular inicial vale | ||
| - | <center><math>\mathbf{L}_0= m_1\mathbf{r}_{10}\times\mathbf{v}_{10}+m_2\mathbf{r}_{20}\times\mathbf{v}_{20} = | + | <center><math>\mathbf{L}_0= m_1\mathbf{r}_{10}\times\mathbf{v}_{10}+m_2\mathbf{r}_{20}\times\mathbf{v}_{20} = m\left(\frac{b}{2}\mathbf{i}\right)\times\left(v_0\mathbf{j}\right) = \frac{mbv_0}{2}\mathbf{k}</math></center> |
| + | |||
| + | Esta cantidad es una constante de movimiento, por lo que, en todo momento | ||
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| + | <center><math>\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{v}_{1}+\mathbf{r}_{2}\times\mathbf{v}_{2} =\frac{\mathbf{L}{m}= \frac{bv_0}{2}\mathbf{k}</math></center> | ||
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| + | Para simplificar el problema empleamos la posición relativa al centro de masas. Definimos | ||
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| + | <center><math>\mathbf{r}\equiv\mathbf{r}'_1 = \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_C</math></center> | ||
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| + | Se cumple, por ser posiciones relativas de dos partículas de la misma masa | ||
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| + | <center><math>\mathbf{r}'_2 = -\mathbf{r}\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}'_2=-\mathbf{v}\,</math></center> | ||
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| + | Esto reduce la ley de conservación del momento angular a | ||
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| + | <center><math>\mathbf{r}\times\mathbf{v} = \frac{bv_0}{4}\mathbf{k}</math></center> | ||
==Energía cinética del sistema== | ==Energía cinética del sistema== | ||
Revisión de 19:52 13 dic 2009
Contenido |
1 Enunciado
Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que puden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial v0 perpendicular a la línea de la barra. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?
2 Estado inicial
El movimiento de ambas partículas va a ser en todo momento sobre el plano. Si tomamos un sistema de ejes cartesianos tal que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la posición inicial de la barra, y el eje X alineado con ella inicialmente, las posiciones de partida de ambas partículas son
mientras que las velocidades iniciales valen
A partir de aquí obtenemos la posición y la velocidad inicial del centro de masas
3 Movimiento del centro de masas
En este sistema todas las fuerzas son internas, y se ejercen mediante la tensión de la barra, que funciona como un resorte de longitud natural a y constante de recuperación infinita. Por ello se conservan tanto la cantidad de movimiento como el momento cinético del sistema.
De la conservación de la cantidad de movimiento del sistema se deduce que el centro de masas se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme
Geométricamente esto significa que el centro de la barra se mueve uniformemente y la barra gira en torno a su centro, de una manera que aun hemos de determinar.
4 Movimiento de cada partícula
Para determinar cómo se mueven las partículas situadas en los extremos de la barra aplicamos la conservación del momento angular del sistema.
El momento angular inicial vale
Esta cantidad es una constante de movimiento, por lo que, en todo momento
Para simplificar el problema empleamos la posición relativa al centro de masas. Definimos
Se cumple, por ser posiciones relativas de dos partículas de la misma masa
Esto reduce la ley de conservación del momento angular a
