Imán en forma de tubo
De Laplace
(→Corrientes de volumen) |
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| Línea 20: | Línea 20: | ||
Por tanto las únicas densidades de corriente serán superficiales. | Por tanto las únicas densidades de corriente serán superficiales. | ||
| - | ==Corrientes superficiales== | + | ===Corrientes superficiales=== |
Tenemos cuatro superficies diferentes: las dos bases, la cara interior y la exterior. Para cada una de ellas, la densidad superficial de corriente imanación es de la forma | Tenemos cuatro superficies diferentes: las dos bases, la cara interior y la exterior. Para cada una de ellas, la densidad superficial de corriente imanación es de la forma | ||
| Línea 33: | Línea 33: | ||
Analizando por separado cada superficie: | Analizando por separado cada superficie: | ||
| - | ===Base superior=== | + | ====Base superior==== |
En la cara superior | En la cara superior | ||
| Línea 40: | Línea 40: | ||
Al ser la magnetización paralela al vector normal, la densidad superficial es nula. | Al ser la magnetización paralela al vector normal, la densidad superficial es nula. | ||
| - | ===Base inferior=== | + | ====Base inferior==== |
En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando | En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando | ||
| Línea 47: | Línea 47: | ||
La densidad superficial es nula en esta cara. | La densidad superficial es nula en esta cara. | ||
| - | ===Cara exterior=== | + | ====Cara exterior==== |
En la cara lateral exterior, el vector normal es <math>\mathbf{u}_\rho</math> por lo que la corriente superficial vale | En la cara lateral exterior, el vector normal es <math>\mathbf{u}_\rho</math> por lo que la corriente superficial vale | ||
| Línea 54: | Línea 54: | ||
La densidad superficial va en la dirección acimutal, girando en torno a la imanación, en sentido antihorario. | La densidad superficial va en la dirección acimutal, girando en torno a la imanación, en sentido antihorario. | ||
| - | ===Cara interior=== | + | ====Cara interior==== |
En la cara lateral interior, tomamos como vector normal <math>-\mathbf{u}_\rho</math> y resulta la corriente superficial | En la cara lateral interior, tomamos como vector normal <math>-\mathbf{u}_\rho</math> y resulta la corriente superficial | ||
| Línea 61: | Línea 61: | ||
Resulta una densidad también acimutal, pero en sentido opuesto a la anterior. | Resulta una densidad también acimutal, pero en sentido opuesto a la anterior. | ||
| - | ==Sistema de corrientes equivalente== | + | ===Sistema de corrientes equivalente=== |
Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales, que fluyen sobre sendos cilindros de radios <math>a</math> y <math>b</math>, en sentidos opuestos, esto es, el imán equivale a dos solenoides por los que circula la misma densidad de corriente, pero arrollados en sentidos opuestos. | Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales, que fluyen sobre sendos cilindros de radios <math>a</math> y <math>b</math>, en sentidos opuestos, esto es, el imán equivale a dos solenoides por los que circula la misma densidad de corriente, pero arrollados en sentidos opuestos. | ||
==Cargas magnéticas== | ==Cargas magnéticas== | ||
| + | Las densidades de carga magnética equivalentes a la magnetización pueden ser también volumétricas y superficiales. | ||
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| + | ===Densidad volumétrica de carga=== | ||
| + | La densidad volumétrica de cargas magnéticas es | ||
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| + | <center><math>\rho_m = -\nabla\cdot\mathbf{M}</math></center> | ||
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| + | Esta densidad es nula tanto en el exterior del imán (porque fuera la magnetización es nula), como en su interior (porque es uniforme) | ||
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| + | <center><math>\rho_m = -\nabla\cdot\mathbf{M}=\begin{cases}-\nabla\cdot\mathbf{M}_0=0 & \mathrm{interior}\\ -\nabla\times\mathbf{0}=0 & \mathrm{exterior}\end{cases}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Por tanto las únicas densidades de carga serán superficiales. | ||
| + | |||
| + | ===Densidades superficiales=== | ||
| + | La densidad superficial de carga magnética equivalente tiene la forma general | ||
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| + | <center><math>\sigma_m=-\mathbf{n}\cdot[\mathbf{M}]</math></center> | ||
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| + | Analizando por separado cada una de las cuatro superficies: | ||
| + | |||
| + | ====Base superior==== | ||
| + | En la cara superior | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{n}=\mathbf{u}_z\,</math>{{tose}}<math>\sigma_m=-\mathbf{u}_z\cdot(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=M_0</math></center> | ||
| + | |||
| + | Existe una densidad de carga positiva en esta cara, que corresponde al polo norte del imán. | ||
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| + | ====Base inferior==== | ||
| + | En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{n}=-\mathbf{u}_z\,</math>{{tose}}<math>\mathbf{K}_m=(-\mathbf{u}_z)\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=\mathbf{0}</math></center> | ||
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| + | La densidad superficial es nula en esta cara. | ||
| + | |||
| + | ====Cara exterior==== | ||
| + | En la cara lateral exterior, el vector normal es <math>\mathbf{u}_\rho</math> por lo que la corriente superficial vale | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{n}=\mathbf{u}_\rho\,</math>{{tose}}<math>\mathbf{K}_m=\mathbf{u}_\rho\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=M_0\mathbf{u}_\varphi</math></center> | ||
| + | |||
| + | La densidad superficial va en la dirección acimutal, girando en torno a la imanación, en sentido antihorario. | ||
| + | |||
| + | ====Cara interior==== | ||
| + | En la cara lateral interior, tomamos como vector normal <math>-\mathbf{u}_\rho</math> y resulta la corriente superficial | ||
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| + | <center><math>\mathbf{n}=-\mathbf{u}_\rho\,</math>{{tose}}<math>\mathbf{K}_m=-\mathbf{u}_\rho\times(\mathbf{0}-M_0\mathbf{u}_z)=-M_0\mathbf{u}_\varphi</math></center> | ||
| + | |||
| + | Resulta una densidad también acimutal, pero en sentido opuesto a la anterior. | ||
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| + | ===Sistema de corrientes equivalente=== | ||
| + | Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales, que fluyen sobre sendos cilindros de radios <math>a</math> y <math>b</math>, en sentidos opuestos, esto es, el imán equivale a dos solenoides por los que circula la misma densidad de corriente, pero arrollados en sentidos opuestos. | ||
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==Campo en el centro== | ==Campo en el centro== | ||
==Aproximación dipolar== | ==Aproximación dipolar== | ||
[[Categoría:Problemas de materiales magnéticos]] | [[Categoría:Problemas de materiales magnéticos]] | ||
Revisión de 18:08 10 sep 2009
Contenido |
1 Enunciado
Se tiene un tubo cilíndrico imanado longitudinalmente con una magnetización uniforme 
. El tubo posee una longitud 
, un radio interior 
y uno exterior 
- Calcule las corrientes de imanación equivalentes a este imán.
- Halle las cargas de imanación equivalentes.
- Calcule el valor exacto del campo magnético en el centro del tubo.
- Halle el momento dipolar del imán y calcule el valor aproximado del campo magnético en un punto situado a 10 cm en la dirección del eje.
2 Corrientes de imanación
Las corrientes de imanación equivalentes a la magnetización pueden ser volumétricas y superficiales.
2.1 Corrientes de volumen
La densidad de volumétrica de corrientes de magnetización es
Esta densidad es nula tanto en el exterior del imán (porque fuera la magnetización es nula), como en su interior (porque es uniforme)
Por tanto las únicas densidades de corriente serán superficiales.
2.2 Corrientes superficiales
Tenemos cuatro superficies diferentes: las dos bases, la cara interior y la exterior. Para cada una de ellas, la densidad superficial de corriente imanación es de la forma
![\mathbf{K}_m=\mathbf{n}\times[\mathbf{M}]](/wiki/images/math/f/7/e/f7e32e5788be56963bc508bf82ea6658.png)
Empleando coordenadas cilíndricas y tomando el eje Z como del del tubo, la imanación se escribe
y el vector 
depende de la superficie en cuestión.
Analizando por separado cada superficie:
2.2.1 Base superior
En la cara superior
Al ser la magnetización paralela al vector normal, la densidad superficial es nula.
2.2.2 Base inferior
En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando
La densidad superficial es nula en esta cara.
2.2.3 Cara exterior
En la cara lateral exterior, el vector normal es 
por lo que la corriente superficial vale
La densidad superficial va en la dirección acimutal, girando en torno a la imanación, en sentido antihorario.
2.2.4 Cara interior
En la cara lateral interior, tomamos como vector normal 
y resulta la corriente superficial
Resulta una densidad también acimutal, pero en sentido opuesto a la anterior.
2.3 Sistema de corrientes equivalente
Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales, que fluyen sobre sendos cilindros de radios a y b, en sentidos opuestos, esto es, el imán equivale a dos solenoides por los que circula la misma densidad de corriente, pero arrollados en sentidos opuestos.
3 Cargas magnéticas
Las densidades de carga magnética equivalentes a la magnetización pueden ser también volumétricas y superficiales.
3.1 Densidad volumétrica de carga
La densidad volumétrica de cargas magnéticas es
Esta densidad es nula tanto en el exterior del imán (porque fuera la magnetización es nula), como en su interior (porque es uniforme)
Por tanto las únicas densidades de carga serán superficiales.
3.2 Densidades superficiales
La densidad superficial de carga magnética equivalente tiene la forma general
![\sigma_m=-\mathbf{n}\cdot[\mathbf{M}]](/wiki/images/math/b/b/e/bbe0c6ffa48114c5ad7cc755120a91d2.png)
Analizando por separado cada una de las cuatro superficies:
3.2.1 Base superior
En la cara superior
Existe una densidad de carga positiva en esta cara, que corresponde al polo norte del imán.
3.2.2 Base inferior
En la cara inferior el cálculo es casi idéntico. Tomando
La densidad superficial es nula en esta cara.
3.2.3 Cara exterior
En la cara lateral exterior, el vector normal es por lo que la corriente superficial vale
La densidad superficial va en la dirección acimutal, girando en torno a la imanación, en sentido antihorario.
3.2.4 Cara interior
En la cara lateral interior, tomamos como vector normal y resulta la corriente superficial
Resulta una densidad también acimutal, pero en sentido opuesto a la anterior.
3.3 Sistema de corrientes equivalente
Reuniendo los resultados anteriores resulta que el imán en forma de tubo equivale a dos distribuciones superficiales, que fluyen sobre sendos cilindros de radios a y b, en sentidos opuestos, esto es, el imán equivale a dos solenoides por los que circula la misma densidad de corriente, pero arrollados en sentidos opuestos.
