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| Línea 1: |
Línea 1: |
| - | ==Enunciado==
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| - | \begin{solucion}
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| - | Al soltarse la barra, la gravedad hace que descienda aceleradamente.
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| - | Sin embargo, al hacerlo, se modifica el área del circuito contenida en
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| - | el campo magnético, dando lugar a una fuerza electromotriz, que
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| - | generará una corriente. Esta corriente recorre todo el circuito, en
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| - | particular la propia varilla, inmersa en el campo magnético. De acuerdo
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| - | con la ley de Lorentz, aparecerá una fuerza sobre ésta, que será,
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| - | simultáneamente, ortogonal a la corriente y al campo magnético, yendo
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| - | por tanto en la dirección vertical y modificando el movimiento de la
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| - | barra. También habrá fuerzas sobre el resto de los conductores, pero
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| - | supondremos que éstos son rígidos y no se ven afectados por ella.
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| - | Consideraremos el origen de coordenadas justo en el borde inferior de
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| - | la zona ocupada por el campo magnético, de forma que la altura a la
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| - | que se encuentra la barra vendrá dada por el valor de $y$.
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| - | Según la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento para la
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| - | barra es
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| - | \[
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| - | m\dtot[2]{y}{t}=m\dtot{v}{t}=-mg+F_m
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| - | \]
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| - | donde directamente ya estamos suponiendo que todas las fuerzas son
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| - | verticales.
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| - |
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| - | \dibujops{b13-23}
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| - | Supongamos un sentido de recorrido del circuito, tal que la
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| - | normal a él vaya en el mismo sentido que el campo
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| - | magnético. En este caso, la corriente que atraviesa la
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| - | barra irá en la dirección de $-\bu{x}$, con lo que la
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| - | fuerza magnética será
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| - | \[
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| - | \bF_m=(-Ib\bu{x})\times(B_0\bu{z})=IbB_0\bu{y}
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| - | \]
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| - | y la ecuación de movimiento
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| - | \[
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| - | m\dtot{v}{t}=-mg+IbB_0
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| - | \]
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| - | Para hallar una ecuación para la intensidad empleamos la
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| - | ley de Faraday. En el circuito habrá una fuerza
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| - | electromotriz debida al campo magnético que valdrá
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| - | \[
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| - | \fem_\mathrm{ext}=-\dtot{\Phi_m}{t}=-\dtot{\
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| - | }{t}\left(B_0by\right)=-vbB_0
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| - | \]
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| - | Esta fuerza electromotriz equivaldrá a la caída de tensión en el
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| - | elemento de circuito exterior, esto es, será igual a
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| - | \[
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| - | -vbB_0=\cases{IR & en el caso de una resistencia \cr
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| - | & \cr
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| - | \dfrac{Q}{C} & en el caso de un condensador \cr
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| - | & \cr
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| - | L\dtot{I}{t} & en el caso de un solenoide}
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| - | \]
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| - | En cada caso resultará una ecuación de movimiento diferente
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| - | \begin{listnum}
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| - | \item Para una resistencia se tiene el sistema
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| - | \ba
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| - | m\dtot{v}{t} & = & -mg+IbB_0 \\
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| - | IR & = & -vbB_0
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| - | \ea
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| - | Reduciéndolo a una ecuación para la velocidad queda la ecuación
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| - | diferencial
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| - | \[
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| - | m\dtot{v}{t} = -\frac{b^2B_0^2}{R}v-mg
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| - | \]
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| - | cuya solución para el caso de que la barra parta del reposo es
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| - | \[
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| - | v=-g\tau\left(1-\ee^{-t/\tau}\right) \qquad
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| - | \tau=\frac{mR}{b^2B_0^2}
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| - | \]
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| - | Vemos que la velocidad crece --con signo negativo--, pero no de forma
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| - | uniforme, sino que tiende a un valor constante, para el cual se
| |
| - | igualan la fuerza de la gravedad y la fuerza magnética.
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| - |
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| - | La posición se obtiene integrando la ecuación anterior.
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| - | \[
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| - | y=y_0-g\tau t+g\tau^2(1-\ee^{-t/\tau})
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| - | \]
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| - | \item Para el caso de un condensador tenemos el sistema
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| - | \[
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| - | m\dtot{v}{t} = -mg+IbB_0 \]\[
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| - | \frac{Q}{C} = -vbB_0 \qquad \dtot{Q}{t} = I
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| - | \]
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| - | que, reducido a una sola ecuación es
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| - | \[
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| - | m\dtot{v}{t}=-mg+bB_0\dtot{Q}{t}=-mg-Cb^2B_0^2\dtot{v}{t}
| |
| - | \]
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| - | \[
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| - | \tose (m+Cb^2B_0^2)\dtot{v}{t}=-mg
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| - | \]
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| - | La solución de esta ecuación es
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| - | \[
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| - | v=-\frac{mg}{m+Cb^2B_0^2}t
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| - | \]
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| - | Vemos que la velocidad crece con el tiempo de forma uniforme, pero lo
| |
| - | hace más lentamente que si no hubiera campo magnético.
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| - |
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| - | La posición sigue la ecuación de un movimiento uniformemente
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| - | acelerado
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| - | \[
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| - | y=y_0-\frac{mg}{2(m+Cb^2B_0^2)}t^2
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| - | \]
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| - | \item Por último, para el caso de que haya una
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| - | autoinducción presente tenemos que
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| - | \ba
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| - | m\dtot{v}{t} & = & -mg+IbB_0 \\
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| - | L\dtot{I}{t} & = & -vbB_0
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| - | \ea
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| - | Reducimos este sistema derivando una vez
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| - | \[
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| - | m\dtot[2]{v}{t} = bB_0\dtot{I}{t}=-m\omega^2 v\qquad
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| - | \omega=\frac{bB_0}{\sqrt{mL}}
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| - | \]
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| - | Esta es la ecuación de un oscilador armónico de frecuencia $\omega$.
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| - | La solución de esta ecuación, suponiendo que tanto la velocidad como
| |
| - | la corriente inicial son nulas, es
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| - | \[
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| - | v=-\frac{g}{\omega}\sen\omega t\qquad
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| - | I=g\sqrt{\frac{m}{L}}\left(1-\cos\omega t\right)
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| - | \]
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| - | Según esto, tanto la velocidad como la intensidad de corriente
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| - | oscilan armónicamente. La barra unas veces baja y otras sube. En
| |
| - | cuanto a la posición, integrando una segunda vez
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| - | \[
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| - | y=y_0+\frac{g}{\omega^2}(\cos\omega t-1)
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| - | \]
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| - | Esta es también una función oscilante. La barra baja hasta una altura
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| - | mínima de valor
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| - | \[
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| - | y_\mathrm{min}=y_0-\frac{2g}{\omega^2}=y_0-\frac{2 g m L}{b^2B_0^2}
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| - | \]
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| - | Si este valor no es negativo, lo que indicaría que la barra ha salido
| |
| - | del campo magnético, la barra comienza a subir de nuevo hasta la
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| - | posición inicial.
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| - | \item En cuanto a la energía, obtenemos su ecuación
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| - | multiplicando la ecuación de movimiento por la velocidad
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| - | \[
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| - | m v\dtot{v}{t}=-m g v+ IbB_0 v
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| - | \]
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| - | Reagrupando términos resulta
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| - | \[
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| - | mv\dtot{v}{t}+mgv=I v b B_0
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| - | \]
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| - | o, equivalentemente,
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| - | \[
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| - | \dtot{\
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| - | }{t}\left(\frac{1}{2}mv^2+mgy\right)=-I\fem
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| - | \]
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| - | Esta ecuación expresa que la disminución de la energía mecánica,
| |
| - | cinética más potencial, se debe al trabajo realizado sobre la
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| - | corriente.
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| - |
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| - | Para el caso de una resistencia, esta ecuación se convierte en
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| - | \[
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| - | \dtot{W_\mathrm{mec}}{t}=-I^2R
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| - | \]
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| - | Dado que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos
| |
| - | dice que la energía mecánica se esta perdiendo, en forma de calor,
| |
| - | debido a la acción del campo magnético.
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| - |
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| - | Si se trata de un condensador tenemos
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| - | \[
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| - | \dtot{W_\mathrm{mec}}{t}=-I
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| - | \frac{Q}{C}=-\frac{1}{C}Q\dtot{Q}{t}=-\dtot{\
| |
| - | }{t}\left(\frac{Q^2}{2C}\right)
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| - | \]
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| - | o, equivalentemente,
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| - | \[
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| - | \frac{1}{2}mv^2+mgy+\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=
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| - | W_\mathrm{mec}+W_e=\mathrm{cte}
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| - | \]
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| - | En este caso no hay pérdida de energía, sino que la energía potencial
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| - | gravitatoria se transforma en parte en energía cinética y en parte en
| |
| - | energía eléctrica almacenada en el condensador.
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| - |
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| - | Por último, para el caso de una autoinducción, se tiene que
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| - | \[
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| - | \dtot{W_\mathrm{mec}}{t}=-LI\dtot{I}{t}=
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| - | -\dtot{\ }{t}\left(\frac{1}{2}LI^2\right)
| |
| - | \]
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| - | o, lo que es lo mismo,
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| - | \[
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| - | \frac{1}{2}mv^2+mgy+\frac{1}{2}LI^2=W_\mathrm{mec}+W_m=
| |
| - | \mathrm{cte}
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| - | \]
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| - | Esta situación es similar a la del condensador, sólo que la energía
| |
| - | mecánica se transforma en energía magnética. Esta energía es
| |
| - | convertida en energía mecánica de nuevo, siguiendo un proceso
| |
| - | oscilante.
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| - | \end{listnum}
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| - | \end{solucion}
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