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| - | ==Introducción==
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| - | ===La derivada de una función de una variable===
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| - | [[Imagen:derivada.gif|right]]En una dimensión el concepto de derivada es relativamente sencillo: es el límite del cociente entre el incremento de una función y el incremento de su variable
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| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta \phi}{\Delta x}</math></center>
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| - | Gráficamente, antes de tomar el límite, el cociente <math>\Delta\Phi/\Delta x\,</math> representa la pendiente de una recta secante a la gráfica de la función, siendo uno de los puntos de corte aquél en que queremos calcular la derivada y el otro que vamos acercando progresivamente hacia el primer punto. Cuando tomamos el límite, ambos puntos coinciden y la secante se convierte en la tangente.
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| - | Podemos interpretar la expresión <math>\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\,</math> de dos formas.
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| - | ===La derivada como cociente===
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| - | La definición como límite de un cociente permite leer la expresión <math>\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}x\,</math> como un cociente en sí mismo, entre:
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| - | * La cantidad <math>\mathrm{d}\phi\,</math>, conocida como el ''diferencial'' de la función <math>\phi\,</math>. Este diferencial se interpreta como un incremento infinitamente pequeño de la función entre dos puntos vecinos.
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| - | * La cantidad <math>\mathrm{d}x,</math>, conocida como el ''diferencial'' de <math>x\,</math>, que representa la diferencia entre dos posiciones infinitamente próximas.
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| - | De esta interpretación como cociente se obtiene de forma inmediata que, por ejemplo, las dimensiones de la derivada <math>\mathrm{d}\phi\,</math> son las de <math>\phi\,</math> divididas por las de <math>x\,</math> (verbigracia, que si el espacio se mide en metros y el tiempo en segundos, la velocidad -que es la derivada del espacio respecto al tiempo- se mide en metros/segundo).
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| - | ===La derivada como operador===
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| - | [[Imagen:operadorderivada.png|left]]Existe otra forma de leer la expresión anterior. Si la escribimos como
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| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}x} = \left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\right)\phi</math></center>
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| - | podemos leerlos como algo que se "multiplica" por <math>\phi\,</math>. Ese algo no es un número ni una función sino un ''operador''.
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| - | Podemos imaginar un operador como una máquina con una entrada y una salida. Por la entrada se introduce la función y por la salida se obtiene su derivada.
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| - | Los operadores se pueden ''componer'', de forma que al resultado de la aplicación de un operador se le puede aplicar otro o él mismo. Así, la segunda derivada equivale a la aplicación reiterada del operador derivada
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| - | <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\phi}{\mathrm{d}x^2} = \left(\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}x}\right)^2\phi</math></center>
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| - | <center>[[Imagen:operadorderivada2.png]]</center>
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| - | Por la forma de actuar, la aplicación de un operador tiene elementos en común con la multiplicación ordinaria, pero no es una multiplicación. El operador en si mismo no es nada, solo su resultadoo es una magnitud física.
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| | ===Extensión a tres dimensiones=== | | ===Extensión a tres dimensiones=== |
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| | [[Categoría:Gradiente|10]] | | [[Categoría:Gradiente|10]] |
| | + | [[Derivada en una dimensión] |
