Imán cilíndrico
De Laplace
(→Empleando las corrientes) |
(→Empleando las cargas) |
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===Empleando las cargas=== | ===Empleando las cargas=== | ||
| + | Este mismo sistema puede modelarse considerando densidades de carga magnética equivalentes. De nuevo, por ser la magnetización uniforme, no hay densidad volumétrica, pero sí superficial, dada por la expresión | ||
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| + | <center><math>\sigma_m=\mathbf{M}{\cdot}\mathbf{n}</math></center> | ||
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| + | En este caso, <math>\mathbf{M}</math> es tangente a la cara lateral y sobre la misma no hay densidades de carga, pero sí sobre las bases. Sobre la cara superior será | ||
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| + | <center><math>\sigma_m=\mathbf{M}{\cdot}\mathbf{u}_{z}=M_0</math></center> | ||
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| + | y, sobre la inferior | ||
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| + | <center><math>\sigma_m=\mathbf{M}{\cdot}(-\mathbf{u}_{z})=-M_0</math></center> | ||
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| + | esto es, el imán es equivalente a dos discos de carga de signos opuestos y muy próximos entre sí. Esto es el análogo magnético de lo que en electrostática es un condensador. | ||
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| + | Sabemos que el campo eléctrico en un [[Campo debido a dos planos paralelos|condensador de placas planas y paralelas]], despreciando los efectos de borde, con densidad de carga <math>\sigma_s</math> en la cara positiva, es | ||
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| + | <center><math>\mathbf{E}=-\frac{\sigma_s}{\eps}\mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
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| + | En nuestro caso, las ecuaciones para <math>\mathbf{H}</math> son las mismas que para <math>\mathbf{E}</math>, salvo que no aparece <math>\varepsilon_0</math>. Esto nos da para el campo <math>\mathbf{H}</math> | ||
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| + | <center><math>\mathbf{H}=-\sigma_m\mathbf{u}_{z}=-M_0\mathbf{u}_{z}</math></center> | ||
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| + | y, a partir de <math>\mathbf{H}</math>, se obtiene <math>\mathbf{B}</math> | ||
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| + | <center><math>\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{H}+\mathbf{M})=0</math></center> | ||
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| + | El valor numérico es inmediato | ||
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| + | <center><math>H\simeq -10^{5}\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{m}}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>B\simeq 0</math></center> | ||
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| + | Vemos que, en esta aproximación resulta un campo magnético nulo en el interior, mientras que antes resultaba un valor distinto de cero. Si comparamos las dos expresiones vemos que en este caso se ha despreciado la primera corrección, proporcional a <math>L/R</math> que allí sí aparecía. | ||
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| + | En cuanto a un punto en el exterior, sabemos que fuera de un condensador el campo es nulo (aproximadamente), por lo que | ||
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| + | <center><math>\mathbf{H}\simeq 0</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{B}\simeq 0</math></center> | ||
==Imán largo== | ==Imán largo== | ||
Revisión de 12:47 31 mar 2009
Contenido |
1 Enunciado
Se construye un imán cilíndrico de radio R = 1cm y longitud L, con una magnetización uniforme y paralela a su eje M0 = 105A / m.
- Determine aproximadamente los campos
y 
cuando 
, en el centro del imán y en un punto ligeramente por encima de su base superior.
- A partir de las corrientes de magnetización.
- A partir de las cargas magnéticas.
- Estime y cuando
en los mismos puntos y con los mismos métodos
- Determine exactamente y en todos los puntos del eje del imán, tanto dentro como fuera de él. Compare con los resultados anteriores
2 Imán corto
Cuando el imán se reduce a un disco, porque 
, como ocurre en este caso (R = 1 cm, L = 1 mm), podemos
calcular el campo de dos formas: empleando las corrientes de magnetización, o empleando las cargas magnéticas
2.1 Empleando las corrientes
Por ser la imanación 
uniforme, no hay corrientes de volumen, pero sí superficiales. Puesto que la magnetización es perpendicular a las bases del disco, las únicas corrientes de imanación están en la cara lateral y valen
Así pues, el disco imanado es aproximadamente equivalente a una espira de corriente por la que circula una intensidad
2.1.1 En el centro del imán
A partir de esta equivalencia, es inmediato conocer el campo en el centro del imán, pues el campo de una espira circular es un problema clásico con solución
y en nuestro caso resulta un campo
Una vez conocido el valor de $\mathbf{B}$, el cálculo de es inmediato
Nótese que, de los dos términos del paréntesis, el segundo representa una corrección al primero, pues .
Los valores numéricos de estos dos campos en esta aproximación son (en el Sistema Internacional)
2.1.2 Justo encima del imán
Para un punto ligeramente por encima del disco, el campo es el mismo pues la espira equivalente se puede considerar prácticamente como plana, pero el campo cambia pues en el exterior del imán la magnetización es nula (el vacío no se magnetiza). Esto da
2.2 Empleando las cargas
Este mismo sistema puede modelarse considerando densidades de carga magnética equivalentes. De nuevo, por ser la magnetización uniforme, no hay densidad volumétrica, pero sí superficial, dada por la expresión
En este caso, es tangente a la cara lateral y sobre la misma no hay densidades de carga, pero sí sobre las bases. Sobre la cara superior será
y, sobre la inferior
esto es, el imán es equivalente a dos discos de carga de signos opuestos y muy próximos entre sí. Esto es el análogo magnético de lo que en electrostática es un condensador.
Sabemos que el campo eléctrico en un condensador de placas planas y paralelas, despreciando los efectos de borde, con densidad de carga σs en la cara positiva, es
En nuestro caso, las ecuaciones para son las mismas que para 
, salvo que no aparece 
. Esto nos da para el campo
y, a partir de , se obtiene
El valor numérico es inmediato
Vemos que, en esta aproximación resulta un campo magnético nulo en el interior, mientras que antes resultaba un valor distinto de cero. Si comparamos las dos expresiones vemos que en este caso se ha despreciado la primera corrección, proporcional a L / R que allí sí aparecía.
En cuanto a un punto en el exterior, sabemos que fuera de un condensador el campo es nulo (aproximadamente), por lo que
