Varilla en eje giratorio (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 20:35 1 dic 2020

Contenido

1 Enunciado
2 Clasificación del movimiento
3 Ecuación del EIRMD
4 Aceleración angular

1 Enunciado

Una varilla “3” está articulada en el punto $b\vec{\jmath}_2$ de un eje $O Y 2$ . La varilla gira con velocidad angular $\Omega\vec{\imath}_2$ (Ω=cte.) alrededor de su articulación. El eje $O Y 2$ gira a su vez con velocidad angular $\Omega\vec{k}_2$ respecto a un eje $O Z 1$ de un sistema exterior fijo.

¿Qué tipo de movimiento es el {31}, que realiza la varilla “3” respecto al sistema exterior fijo “1” (helicoidal, rotación,…)?
¿Cuál es la ecuación del Eje Instantáneo de Rotación (y Mínimo Deslizamiento, en su caso), del movimiento {31}?
¿Cuánto vale la aceleración angular del movimiento {31}?

2 Clasificación del movimiento

Para caracterizar el movimiento necesitamos la velocidad angular del sólido y la velocidad de un punto.

La velocidad angular la obtenemos por la ley de composición

$\vec{\omega}_{31}=\vec{\omega}_{32}+\vec{\omega}_{21}=\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2$

Para la velocidad de un punto, el más simple es el centro de la varilla, por tratarse de una articulación

$\vec{v}^G_{31}=\overbrace{\vec{v}^G_{32}}^{=\vec{0}}+\vec{v}^G_{21}$

A su vez, la velocidad de G en el movimiento {21} corresponde a una rotación en torno al eje $O Z 1$

$\vec{v}^G_{21}=\overbrace{\vec{v}^O_{21}}^{=\vec{0}}+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OG}=\Omega\vec{k}_2\times(b\vec{\jmath}_2)=-\Omega b\vec{\imath}_2$

La reducción cinemática en G es entonces

$\left\{\vec{\omega}_{31},\vec{v}^G_{31}\right\}=\left\{\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2,-\Omega b\vec{\imath}_2\right\}$

La velocidad angular no es nula, por lo que el estado no es de reposo ni de traslación.

Si calculamos el producto escalar de las dos velocidades

$\vec{v}^G_{31}\cdot\vec{\omega}_{31}=-\Omega^2 b\neq 0$

Por tanto el movimiento es helicoidal, siendo la velocidad de deslizamiento

$v_d=\frac{\vec{v}^G_{31}\cdot\vec{\omega}_{31}}{|\vec{\omega}_{31}|}=-\frac{\Omega b}{\sqrt{2}}$

3 Ecuación del EIRMD

El EIRMD lleva la dirección de la velocidad angular y pasa por un punto cuya posición respecto a G es

$\overrightarrow{GE}_0=\frac{\vec{\omega}_{31}\times\vec{v}^G_{31}}{|\vec{\omega}_{31}|^2}=\frac{(\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2)\times(-\Omega b\vec{\imath}_2)}{2\Omega^2}=-\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2$

y respecto al origen

$\overrightarrow{OE}_0=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GE}_0=\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2$

siendo la ecuación del eje

$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OE}_0+\lambda\vec{\omega}_{21}= \frac{b}{2}\vec{\jmath}_2+\lambda\Omega(\vec{\imath}_2+\vec{k}_2)$

o, separando por componentes,

$\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\lambda\Omega\\ y &=& (b/2) \\ z &=& \lambda\Omega\end{array}\right.$

4 Aceleración angular

La aceleración angular la obtenemos por la ley de composición correspondiente

$\vec{\alpha}_{31}=\vec{\alpha}_{32}+\vec{\alpha}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}$

siendo

$\vec{\alpha}_{32}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_2)\right|_2=\vec{0} \qquad\qquad \vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_1)\right|_1=\vec{0}$

y, por tanto,

$\vec{\alpha}_{31}=\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}=\Omega^2\vec{\jmath}_2$

@@ Línea 34: / Línea 34: @@
 ==Ecuación del EIRMD==
-El EIRMD lleva la dirección de la velocidad angular y pasa por el punto de posición respecto a G
+El EIRMD lleva la dirección de la velocidad angular y pasa por un punto cuya posición respecto a G es
+<center><math>\overrightarrow{GE}_0=\frac{\vec{\omega}_{31}\times\vec{v}^G_{31}}{|\vec{\omega}_{31}|^2}=\frac{(\Omega\vec{\imath}_2+\Omega\vec{k}_2)\times(-\Omega b\vec{\imath}_2)}{2\Omega^2}=-\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2</math></center>
+y respecto al origen
+<center><math>\overrightarrow{OE}_0=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GE}_0=\frac{b}{2}\vec{\jmath}_2</math></center>
+siendo la ecuación del eje
+<center><math>\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OE}_0+\lambda\vec{\omega}_{21}= \frac{b}{2}\vec{\jmath}_2+\lambda\Omega(\vec{\imath}_2+\vec{k}_2)</math></center>
+o, separando por componentes,
+<center><math>\left\{\begin{array}{rcl} x&=&\lambda\Omega\\ y &=& (b/2) \\ z &=& \lambda\Omega\end{array}\right.</math></center>
 ==Aceleración angular==
+La aceleración angular la obtenemos por la ley de composición correspondiente
+<center><math>\vec{\alpha}_{31}=\vec{\alpha}_{32}+\vec{\alpha}_{21}+\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}</math></center>
+siendo
+<center><math>\vec{\alpha}_{32}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_2)\right|_2=\vec{0}
+\qquad\qquad \vec{\alpha}_{21}=\left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\Omega\vec{\imath}_1)\right|_1=\vec{0}</math></center>
+y, por tanto,
+<center><math>\vec{\alpha}_{31}=\vec{\omega}_{21}\times\vec{\omega}_{32}=\Omega^2\vec{\jmath}_2</math></center>

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1 Enunciado

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3 Ecuación del EIRMD

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