Cinco resistencias iguales
De Laplace
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Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos: | Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos: | ||
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# {{nivel|1}} En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra. | # {{nivel|1}} En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra. | ||
# {{nivel|1}} En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra. | # {{nivel|1}} En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra. | ||
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<center><math>I_C=0\qquad\qquad I_B=-I_A=-2\,\mathrm{mA}</math></center> | <center><math>I_C=0\qquad\qquad I_B=-I_A=-2\,\mathrm{mA}</math></center> | ||
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| + | ==Segundo caso== | ||
| + | En el segundo caso tenemos | ||
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| + | <center><math>V_A=24\,\mathrm{mV}\qquad\qquad V_C=0\qquad\qquad I_B=0</math></center> | ||
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| + | Este caso también se puede reducir a asociaciones en serie y en paralelo, aunque ya no hay simetría. | ||
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| + | Para ir de A (entrada de la corriente) a C (salida de la corriente) hay dos caminos en paralelo. Uno va directo y tiene resistencia R. El otro va pasando por D y está formado por dos elementos en serie: una resistencia R y una asociación en paralelo de una resistencia R y una resistencia 2R. El esquema se puede reescribir de esta forma: | ||
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| + | La resistencia equivalente de la rama superior es | ||
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| + | <center><math>R_2 = R + \frac{R\cdot 2R}{R+2R} = R+ \frac{2}{3}R=\frac{5}{3}R=20\,\Omega</math></center> | ||
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| + | de manera que la resistencia equivalente del conjunto es | ||
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| + | <center><math>R_\mathrm{eq}=\frac{(5R/3)R}{(5R/3)+R}=\frac{5}{8}R=7.5\,\Omega</math></center> | ||
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| + | siendo la corriente que entra por A | ||
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| + | <center><math>I_A=\frac{V_A-V_C}{R_\mathrm{eq}}=\frac{24\,\mathrm{mV}}{7.5\,Omega}=1.6\,\mathrm{mA}</math></center> | ||
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| + | y, para los otros dos terminales | ||
| + | |||
| + | <center><math>I_C=-1.6\,\mathrm{mA}\qquad\qquad I_B=0\,\mathrm{mA}</math></center> | ||
Revisión de 13:21 16 abr 2020
Contenido |
1 Enunciado
Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:
-
En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
- En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
- En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
-
En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
- En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
- En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.
2 Introducción
Este problema se puede resolver de forma general, dando como resultado una expresión matricial para las corrientes que entran por A, B y C en función de los voltajes de estos nodos. Más adelante se describe esta solución general, aplicable a todos los apartados del problema.
Aparte de este caso general, muchos casos particulares pueden simplificarse aplicando asociaciones en serie y en paralelo de resistencias.
3 Primer caso
En el primer caso, el nodo C está abierto, es decir, no tiene fuente conectada, por lo que por C no entra ni sale corriente.
En este caso, al ser todas las resistencias iguales y tener simetría, el voltaje en el nodo C será la media entre el del A y el B.
Lo mismo ocurre con el nodo D, que sería el superior.
Esto hace que entre C y D no haya diferencia de potencial y por tanto, por la rama central no circule corriente.
El sistema se reduce entonces a dos ramas en paralelo, ya que la resistencia central es como si no estuviera. La rama superior, pasando por D, tiene resistencia 2R, y la rama inferior, pasando por C, tiene también resistencia 2R, siendo 
.
La resistencia equivalente del conjunto es
y por tanto la intensidad que entra por A (y sale por B) vale
y, para los otros dos terminales
4 Segundo caso
En el segundo caso tenemos
Este caso también se puede reducir a asociaciones en serie y en paralelo, aunque ya no hay simetría.
Para ir de A (entrada de la corriente) a C (salida de la corriente) hay dos caminos en paralelo. Uno va directo y tiene resistencia R. El otro va pasando por D y está formado por dos elementos en serie: una resistencia R y una asociación en paralelo de una resistencia R y una resistencia 2R. El esquema se puede reescribir de esta forma:
La resistencia equivalente de la rama superior es
de manera que la resistencia equivalente del conjunto es
siendo la corriente que entra por A
y, para los otros dos terminales
