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Calculo de magnitudes a partir de v(t)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Distancia recorrida y rapidez media)
(→Velocidad y rapidez máximas y mínimas)
Línea 90: Línea 90:
La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor
La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor
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<center><math>v(0\,\mathrm{s}) = 216\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v(24\,\mathrm{s}) = 260\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+
<center><math>v(0\,\mathrm{s}) = 216\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v(24\,\mathrm{s}) = 360\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
Por tanto el valor máximo en 360m/s.
Por tanto el valor máximo en 360m/s.

Revisión de 16:37 22 oct 2018

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su velocidad sigue la ley, en el SI

v(t) = (3t^2-66t+216)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

entre t=0\,\mathrm{s} y t=24\,\mathrm{s}. La posición inicial es x(0) = 0\,\mathrm{m}. Halle:

  1. La posición de la partícula en cada instante del intervalo indicado.
  2. La velocidad media de la partícula en este intervalo.
  3. Los valores máximo y mínimo de x.
  4. La distancia recorrida en ese intervalo y la rapidez media.
  5. La aceleración en todo instante.
  6. Los valores máximo y mínimo de la velocidad y la rapidez.

2 Posición

La posición instantánea la hallamos integrando la velocidad

x(t) = x_0+\int_0^t v(t)\,\mathrm{d}t

En este caso

x(t) = \int_0^t(3t^2-66t + 216)\mathrm{d}t = t^3 - 33t^2 + 216t

estando el tiempo medido en segundos y la posición en metros.

3 Velocidad media

El desplazamiento en este intervalo es

\Delta x = x(24)-x(0) = 0 - 0 = 0\,\mathrm{m}

con lo que la velocidad media es nula

v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t}=0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4 Posición máxima y mínima

Los valores extremos de la posición corresponden a los instantes en que la velocidad se anula

3t^2 - 66t + 216 = 0\qquad\Rightarrow\qquad t=4\,\mathrm{s}\qquad \mbox{o}\qquad t = 18\,\mathrm{s}

siendo la posición en esos instantes

x(4\,\mathrm{s}) = 400\,\mathrm{m}\qquad\qquad x(18\,\mathrm{s})=-972\,\mathrm{m}

La partícula parte del origen, llega a una distancia máxima, a partir de ahí retrocede hasta un valor mínimo negativo y de ahí avanza de nuevo hasta terminar en la posición inicial

Archivo:xdet-cubica.png

5 Distancia recorrida y rapidez media

La distancia total recorrida no coincide con el desplazamiento neto, ya que la partícula va y viene en su movimiento.

De los resultados del apartado anterior tenemos que la partícula avanza 400 m, luego retrocede esos mismos 400 m y hace 972 m. Por último vuelve a recorrer de nuevo los 972 m hasta la posición original. la distancia total recorrida es

\Delta s = 400\,\mathrm{m}+400\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}+972\,\mathrm{m}=2744\,\mathrm{m}

Si no hubiéramos hallado previamente estas cantidades podemos calcular la distancia total recorrida integrando la rapidez

\Delta s = \int_0^T |v|\,\mathrm{d}t

El valor absoluto de la velocidad se obtiene cambiando el signo de la velocidad en los tramos en que es negativa ya que

|x|=\begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0\end{cases}

. El cambio de signo se produce en los puntos en que la velocidad se anula.

Archivo:vdet-cubica.png        Archivo:absvdet-cubica.png

Esto nos da

|v| = \begin{cases} \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 0\,\mathrm{s} < t < 4\,\mathrm{s} \\ -\left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 4\,\mathrm{s} < t < 18\,\mathrm{s} \\ \left(3t^2-66t+216\right)\mathrm{m}/\mathrm{s} & 18\,\mathrm{s} < t < 24\,\mathrm{s}\end{cases}

Integrando esto

\Delta s = \int_0^4 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t+\int_4^{18} \left(-\left(3t^2-66t+216\right)\right)\,\mathrm{d}t+\int_{18}^{24} \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t = \left(400+1372+972\right)\,\mathrm{m} = 2744\,\mathrm{m}

6 Aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración instantánea

a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \left(6t-66\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

La gráfica de esta figura es una línea recta

Archivo:adet-cubica.png

La gráfica pasa por cero justo donde la velocidad es mínima.

7 Velocidad y rapidez máximas y mínimas

La velocidad mínima se obtiene cuando la aceleración es nula, es decir en t=11s. En ese instante

v(11\,\mathrm{s}) = -147\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor

v(0\,\mathrm{s}) = 216\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad v(24\,\mathrm{s}) = 360\,\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Por tanto el valor máximo en 360m/s.

Para la rapidez el valor máximo es el mismo, pero el minimo no es +147m/s, sino 0m/s. Obsérvese que los extremos de la rapidez en este caso no se hallan donde su derivada es nula.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Calculo_de_magnitudes_a_partir_de_v(t)"

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