Percusión en sistema de dos masas
De Laplace
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Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. | Supongamos dos masas iguales <math>m/2</math> unidas por una barra rígida de longitud <math>b</math>, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento. | ||
| - | # Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento? | + | |
| + | Inicialmente la varilla está en reposo. | ||
| + | # Se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra en un punto A a una distancia <math>c</math> de su centro. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento? | ||
# ¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si en lugar de una mancuerna tenemos una barra homogénea de longitud <math>b</math> y masa <math>m</math> a la cual se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro? | # ¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si en lugar de una mancuerna tenemos una barra homogénea de longitud <math>b</math> y masa <math>m</math> a la cual se comunica una percusión <math>\vec{P}</math> perpendicular a la barra a una distancia <math>c</math> de su centro? | ||
| - | # ¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo | + | # ¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo B, situado a una distancia d del centro de la barra? ¿Cuánto valen las fuerzas y momentos de reacción en B? |
| - | # ¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en | + | # ¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en B? |
==Barra con masas, libre== | ==Barra con masas, libre== | ||
| + | Las ecuaciones básicas de la dinámica del sólido sometido a una percusión aplicada en un punto A son | ||
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| + | <center><math>\Delta (m \vec{v}_G)=\vec{P}\qquad\qquad\Delta \vec{L}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{P}</math></center> | ||
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| + | De la primera obtenemos la velocidad del centro de masas tras la percusión (antes de ella es nula). Aquí m es la masa total del sólido (la masa de cada partícula es m/2). | ||
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| + | Tomamos un sistema de ejes en el que el OX es colineal con la barra, el OY es ortogonal a ella dentro del mismo plano horizontal y el OZ es perpendicular al plano del movimiento. | ||
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| + | En este sistema | ||
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| + | <center><math>\Delta (m \vec{v}_G)=m\vec{v}^+_G =P\vec{\jmath}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^+_G=\frac{P}{m}\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | Para la rotación necesitamos en primer lugar el tensor de inercia del sistema en O. En este caso es muy simple, los tres ejes son principales; el momento respecto a OX es nulo por estar las dos masas sobre el propio eje; el momento respecto a OY es igual al momento respecto a OZ y vale | ||
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| + | <center><math>I_{yy}=I_{zz}=\frac{m}{2}\left(\frac{b}{2}\right)^2 + \frac{m}{2}\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{mb^2}{4}</math></center> | ||
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| + | El momento cinético del sólido es entonces, en este sistema de ejes principales | ||
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| + | <center><math>\vec{L}_O=I_{xx}\omega_x\vec{\imath}+I_{yy}\omega_y\vec{\jmath}+I_{zz}\omega_z\vec{k}=\frac{mb^2}{4}\left(\omega_y\vec{\jmath}+I_{zz}\omega_z\vec{k}\right)</math></center> | ||
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| + | El momento de percusión vale | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{OA}\times\vec{P}=c\vec{\imath}\times P\vec{\jmath}=cP\vec{k}</math></center> | ||
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| + | igualando resulta | ||
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| + | <center><math>\omega_y=0\qquad\qquad \omega_z=\frac{4cP}{mb^2}\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Una vez que se efectúa la percusión la velocidad del CM y la velocidad angular permanecen constantes, por lo que el movimiento de la varilla es una combinación de avance horizontal y de rotación respecto a un eje vertical. | ||
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| + | El centro instantáneo de rotación de este movimiento plano es | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{oI}=\frac{\vec{k}\times \vec{v}_O}{\omega}</math></center> | ||
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| + | en este caso O es el propio CM por lo que su velocidad ya la hemos calculado. Esto nos da | ||
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| + | <center><math>\overrightarrow{OI}=\frac{P/m\vec{k}\times\vec{\jmath}}{4cP/mb^2}=-\frac{b^2}{4c}\vec{\imath}</math></center> | ||
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| + | Si c es nula, este CIR se va al infinito, lo que corresponde a que si golpeamos la varilla en el centro no gira, sino que solo se traslada. Si golpeamos en una de las masas (<math>c=b/2</math>) el CIR pasa a estar en la otra, que en el instante inicial aun no se mueve. | ||
==Barra homogénea, libre== | ==Barra homogénea, libre== | ||
==Barra con masas, articulada== | ==Barra con masas, articulada== | ||
Revisión de 19:08 27 ago 2018
Contenido |
1 Enunciado
Supongamos dos masas iguales m / 2 unidas por una barra rígida de longitud b, sin masa (lo que sería una mancuerna ideal). Las masas reposan sobre un plano horizontal, sobre el que pueden moverse sin rozamiento.
Inicialmente la varilla está en reposo.
- Se comunica una percusión
perpendicular a la barra en un punto A a una distancia c de su centro. ¿Cuánto valen la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al CM y la energía cinética de la barra? ¿Cómo es el movimiento del sistema a partir de ese momento?
- ¿Cómo cambian los resultados del problema anterior si en lugar de una mancuerna tenemos una barra homogénea de longitud b y masa m a la cual se comunica una percusión perpendicular a la barra a una distancia c de su centro?
- ¿Cómo cambian los resultados de los dos problemas anteriores si la barra está articulada a un punto fijo B, situado a una distancia d del centro de la barra? ¿Cuánto valen las fuerzas y momentos de reacción en B?
- ¿Y sí en lugar de estar articulada, está empotrada en B?
2 Barra con masas, libre
Las ecuaciones básicas de la dinámica del sólido sometido a una percusión aplicada en un punto A son
De la primera obtenemos la velocidad del centro de masas tras la percusión (antes de ella es nula). Aquí m es la masa total del sólido (la masa de cada partícula es m/2).
Tomamos un sistema de ejes en el que el OX es colineal con la barra, el OY es ortogonal a ella dentro del mismo plano horizontal y el OZ es perpendicular al plano del movimiento.
En este sistema
Para la rotación necesitamos en primer lugar el tensor de inercia del sistema en O. En este caso es muy simple, los tres ejes son principales; el momento respecto a OX es nulo por estar las dos masas sobre el propio eje; el momento respecto a OY es igual al momento respecto a OZ y vale
El momento cinético del sólido es entonces, en este sistema de ejes principales
El momento de percusión vale
igualando resulta
Una vez que se efectúa la percusión la velocidad del CM y la velocidad angular permanecen constantes, por lo que el movimiento de la varilla es una combinación de avance horizontal y de rotación respecto a un eje vertical.
El centro instantáneo de rotación de este movimiento plano es
en este caso O es el propio CM por lo que su velocidad ya la hemos calculado. Esto nos da
Si c es nula, este CIR se va al infinito, lo que corresponde a que si golpeamos la varilla en el centro no gira, sino que solo se traslada. Si golpeamos en una de las masas (c = b / 2) el CIR pasa a estar en la otra, que en el instante inicial aun no se mueve.
