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Conductor cúbico con placas enfrentadas (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 2: Línea 2:
Se tiene un sistema de conductores formado por un bloque central de forma cúbica, de arista <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Este bloque está forrado por una capa de dieléctrico de espesor <math>a=1\,\mathrm{mm}</math>, siendo <math>\varepsilon=2\times 10^{-11} \mathrm{F}/\mathrm{m}</math> la permitividad del dieléctrico. Frente a cada cara del cubo y pegadas al dieléctrico se hallan 6 placas conductoras de lado <math>b</math>. El cubo central está aislado y descargado. Cada una de las placas tiene su tensión fijada por una fuente o una conexión a tierra.
Se tiene un sistema de conductores formado por un bloque central de forma cúbica, de arista <math>b=10\,\mathrm{cm}</math>. Este bloque está forrado por una capa de dieléctrico de espesor <math>a=1\,\mathrm{mm}</math>, siendo <math>\varepsilon=2\times 10^{-11} \mathrm{F}/\mathrm{m}</math> la permitividad del dieléctrico. Frente a cada cara del cubo y pegadas al dieléctrico se hallan 6 placas conductoras de lado <math>b</math>. El cubo central está aislado y descargado. Cada una de las placas tiene su tensión fijada por una fuente o una conexión a tierra.
Numeramos las caras como las de un dado. La placa 1 está a un voltaje de 9&thinsp;V, la 2 (contigua a la 1) a 3&thinsp;V y la 3 (contigua a la 1 y a la 2) a 6&thinsp;V. La placa 4 (opuesta a la 3), la 5 (opuesta a la 2) y la 6 (opuesta a la 1) están a tierra.
Numeramos las caras como las de un dado. La placa 1 está a un voltaje de 9&thinsp;V, la 2 (contigua a la 1) a 3&thinsp;V y la 3 (contigua a la 1 y a la 2) a 6&thinsp;V. La placa 4 (opuesta a la 3), la 5 (opuesta a la 2) y la 6 (opuesta a la 1) están a tierra.
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Halle:
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# El voltaje al que se encuentra el cubo central.
# El voltaje al que se encuentra el cubo central.
Línea 46: Línea 48:
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\cdots</math></center>
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De los siete conductores (las seis placas y el cubo) hay tres a potencial nulo y dos (el cubo y una placa) con carga nula. Los únicos que contribuyen a la energía son la placa 1 y la 3
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De los siete conductores (las seis placas y el cubo) hay tres a potencial nulo (las placas 4, 5 y 6) y dos (el cubo y la placa 2) con carga nula. Los únicos que contribuyen a la energía son la placa 1 y la 3
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(1.2\,\mathrm{nC})(9\mathrm{V})+\frac{1}{2}(0.6\,\mathrm{nC})(6\mathrm{V})=7.2\,\mathrm{nJ}</math></center>
<center><math>U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(1.2\,\mathrm{nC})(9\mathrm{V})+\frac{1}{2}(0.6\,\mathrm{nC})(6\mathrm{V})=7.2\,\mathrm{nJ}</math></center>
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==Tras la conexión==
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===Energía almacenada===
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Tras la conexión de la placa 3 a tierra, el nuevo voltaje del cubo es
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<center><math>V'_c=\frac{9+3+0+0+0+0}{6}\mathrm{V}=2\,\mathrm{V}</math></center>
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y las nuevas cargas de las placas valen
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<center><math>Q'_1=C_0(V_1-V'_c)=200\,\mathrm{pF}(9-2)\mathrm{V}=1.4\,\mathrm{nC}</math></center>
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<center><math>Q_3=Q_4=Q_5=Q_6=C_0(V_3-V'_c)=200\,\mathrm{pF}(0-2)\mathrm{V}=-0.4\,\mathrm{nC}</math></cen}ter>
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Esto nos da la nueva energía
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<center><math>U'_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(1.4\times 9+0.2\times 3)\,\mathrm{nJ}=6.6\,\mathrm{nJ}</math></center>
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===Trabajo de los generadores===
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El trabajo de cada generador es
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<center><math>W_g=V_g\,\Delta Q</math></center>
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Para el generador 1
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<center><math>W_{g1}=V_1(Q'_1-Q_1)=(9\,\mathrm{V})(1.4-1.2)\,\mathrm{nC}=1.8\,\mathrm{nJ}</math></center>
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Para el 2
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<center><math>W_{g1}=V_2(Q'_2-Q_2)=(3\,\mathrm{V})(0.0-0.2)\,\mathrm{nC}=-0.6\,\mathrm{nJ}</math></center>
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En total los generadores realizan 1.2nJ, pero la energía almacenada baja en 0.6nJ, luego se pierden 1.8nJ

Revisión de 19:10 20 jun 2018

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de conductores formado por un bloque central de forma cúbica, de arista b=10\,\mathrm{cm}. Este bloque está forrado por una capa de dieléctrico de espesor a=1\,\mathrm{mm}, siendo \varepsilon=2\times 10^{-11} \mathrm{F}/\mathrm{m} la permitividad del dieléctrico. Frente a cada cara del cubo y pegadas al dieléctrico se hallan 6 placas conductoras de lado b. El cubo central está aislado y descargado. Cada una de las placas tiene su tensión fijada por una fuente o una conexión a tierra. Numeramos las caras como las de un dado. La placa 1 está a un voltaje de 9 V, la 2 (contigua a la 1) a 3 V y la 3 (contigua a la 1 y a la 2) a 6 V. La placa 4 (opuesta a la 3), la 5 (opuesta a la 2) y la 6 (opuesta a la 1) están a tierra.

Halle:

  1. El voltaje al que se encuentra el cubo central.
  2. La carga de cada una de las placas exteriores.
  3. La energía electrostática almacenada en el sistema.

Suponga que la placa 3 se desconecta de su fuente y se pone a tierra.

  1. ¿Cuánto cambia la energía del sistema?
  2. ¿Qué trabajo realiza cada uno de los generadores 1 y 2?

Despréciense los efectos de borde, de manera que el para formado por cada placa y la cara correspondiente del cubo puede tratarse como un condensador plano.

2 Potencial del cubo

El circuito equivalente está formado por un nodo central (el cubo) conectado a 6 condensadores iguales de capacidad

C_0=\frac{\varepsilon b^2}{a}=\frac{2\times 10^{-11}(0.1)^2}{0.001}=200\,\mathrm{pF}

La carga de la esfera central es la suma de las de las seis caras, cada una de las cuales se halla como la del condensador correspondiente

0 = C_0(V_c-V_1)+C_0(V_c-V_2)+\cdots

siendo V1, V2, … los voltajes de las placas exteriores. Igualando a 0 y despejando resulta la media aritmética de estos voltajes

0=C_0(6V_c-V_1-V_2-\cdots)\qquad\Rightarrow\qquad V_c=\frac{V_1+V_2+V_3+V_4+V_5+V_6}{6}

En este caso

V_c=\frac{9+3+6+0+0+0}{6}\,\mathrm{V}=3\,\mathrm{V}

3 Carga de las placas

Cada una es la de un condensador.

Q_1=C_0(V_1-V_c)=200\,\mathrm{pF}(9-3)\mathrm{V}=1.2\,\mathrm{nC}

 

Q_2=C_0(V_2-V_c)=200\,\mathrm{pF}(3-3)\mathrm{V}=0.0\,\mathrm{nC}

 

Q_3=C_0(V_3-V_c)=200\,\mathrm{pF}(6-3)\mathrm{V}=0.6\,\mathrm{nC}

 

Q_4=Q_5=Q_6=C_0(V_4-V_c)=200\,\mathrm{pF}(0-3)\mathrm{V}=-0.6\,\mathrm{nC}

4 Energía almacenada

Para un sistema de conductores

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}Q_1V_1+\frac{1}{2}Q_2V_2+\cdots

De los siete conductores (las seis placas y el cubo) hay tres a potencial nulo (las placas 4, 5 y 6) y dos (el cubo y la placa 2) con carga nula. Los únicos que contribuyen a la energía son la placa 1 y la 3

U_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(1.2\,\mathrm{nC})(9\mathrm{V})+\frac{1}{2}(0.6\,\mathrm{nC})(6\mathrm{V})=7.2\,\mathrm{nJ}

5 Tras la conexión

5.1 Energía almacenada

Tras la conexión de la placa 3 a tierra, el nuevo voltaje del cubo es

V'_c=\frac{9+3+0+0+0+0}{6}\mathrm{V}=2\,\mathrm{V}

y las nuevas cargas de las placas valen

Q'_1=C_0(V_1-V'_c)=200\,\mathrm{pF}(9-2)\mathrm{V}=1.4\,\mathrm{nC}

 

Q'_2=C_0(V_2-V'_c)=200\,\mathrm{pF}(3-2)\mathrm{V}=0.2\,\mathrm{nC}

 

Q_3=Q_4=Q_5=Q_6=C_0(V_3-V'_c)=200\,\mathrm{pF}(0-2)\mathrm{V}=-0.4\,\mathrm{nC}</cen}ter>

Esto nos da la nueva energía

<center>U'_\mathrm{e}=\frac{1}{2}(1.4\times 9+0.2\times 3)\,\mathrm{nJ}=6.6\,\mathrm{nJ}

5.2 Trabajo de los generadores

El trabajo de cada generador es

W_g=V_g\,\Delta Q

Para el generador 1

W_{g1}=V_1(Q'_1-Q_1)=(9\,\mathrm{V})(1.4-1.2)\,\mathrm{nC}=1.8\,\mathrm{nJ}

Para el 2

W_{g1}=V_2(Q'_2-Q_2)=(3\,\mathrm{V})(0.0-0.2)\,\mathrm{nC}=-0.6\,\mathrm{nJ}

En total los generadores realizan 1.2nJ, pero la energía almacenada baja en 0.6nJ, luego se pierden 1.8nJ

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Conductor_c%C3%BAbico_con_placas_enfrentadas_(GIE)"

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