Solución general del MAS

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 11:26 7 feb 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

La solución general de la ecuación de movimiento

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$

es de la forma

$x = a \cos(\omega t)+b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$ $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

con $a$ y $b$ dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

Halle el valor de las constantes $a$ y $b$ si la posición inicial de la partícula es $x 0$ y su velocidad inicial es $v 0$ .
Demuestre que la ecuación horaria $x = A \cos\left(\omega t+\phi\right)$ es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes ${A,φ}$ y las constantes ${a, b}$ . Exprese $A$ y $φ$ en función de la posición y la velocidad iniciales, $x 0$ y $v 0$ .
Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
Demuestre que la cantidad $E = m v 2 / 2 + k x 2 / 2$ no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?
Demuestre que $x = e jω t$ , con $\mathrm{j}=\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ , la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

2 Solución

2.1 Valor de a y b

Haciendo $t = 0$ en la ley horaria, el resultado debe ser igual a la posición inicial

$x_0 = x(0) = a \cos(\omega\cdot 0) + b\,\mathrm{sen}\,(\omega\cdot 0) = a$ $\Rightarrow$ $a = x_0\,$

Para hallar $b$ necesitamos la velocidad. Derivando en la ley horaria

$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= -a\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)+b\omega\cos(\omega t)$

y su valor en $t = 0$ nos da $b$

$v_0 = -a\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega\cdot 0)+b\omega\cos(\omega\cdot 0) = b\omega$ $\Rightarrow$ $b = \frac{v_0}{\omega}$

Por tanto, la posición en cualquier instante, en función de las condiciones iniciales, es

$x = x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Como casos particulares tenemos

el de una partícula que se libera desde una cierta posición en reposo

$v_0 = 0\,$ $x= x_0\cos(\omega t)\,$

el de una partícula a la que se comunica un impulso inicial en la posición de equilibrio

$x_0 = 0\,$ $x= \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}\,(\omega t)$

2.2 Amplitud y desfase

Una manera alternativa de escribir la solución general es en la forma

x = A cos(ω t + φ)

donde $A$ es la amplitud del movimiento y $\phi\,$ es su desfase.

Veamos en primer lugar que se trata de una solución de la ecuación de movimiento. Derivando dos veces

$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= -A\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t+\phi)$ $v = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)$

y sustituyendo

m a = - m A ω 2 cos(ω t + φ) = - (m ω 2) x = - k x

Por tanto, es una solución de la ecuación de movimiento. Queda por ver que se trata de una solución general.

Dado que la solución general de la ecuación de movimiento puede escribirse en la forma indicada en el enunciado, la que acabamos de comprobar también podrá escribirse en la misma forma, esto es, existen dos constantes $a$ y $b$ tales que

$A\cos(\omega t+\phi) = a\cos(\omega t)+b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Para hallar sus valores, aplicamos la relación trigonómetrica

$\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)+\,\mathrm{sen}\,(x)\,\mathrm{sen}\,(y)$

2.3 Velocidad

2.4 Conservación de la energía

2.5 Fórmula de Euler

@@ Línea 46: / Línea 46: @@
 <center><math>x_0 = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>x= \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}\,(\omega t)</math></center>
-===Amplitud y fase===
+===Amplitud y desfase===
+Una manera alternativa de escribir la solución general es en la forma
+<center><math>x = A \cos(\omega t+\phi)</math></center>
+donde <math>A</math> es la ''amplitud'' del movimiento y <math>\phi\,</math> es su ''desfase''.
+Veamos en primer lugar que se trata de una solución de la ecuación de movimiento. Derivando dos veces
+<center><math>v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= -A\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t+\phi)</math>{{qquad}}<math>v = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-A\omega^2\cos(\omega t+\phi)</math></center>
+y sustituyendo
+<center><math>ma = -mA\omega^2\cos(\omega t+\phi) = -(m\omega^2)x = - kx</math></center>
+Por tanto, es una solución de la ecuación de movimiento. Queda por ver que se trata de una solución general.
+Dado que la solución general de la ecuación de movimiento puede escribirse en la forma indicada en el enunciado, la que acabamos de comprobar también podrá escribirse en la misma forma, esto es, existen dos ''constantes'' <math>a</math> y <math>b</math> tales que
+<center><math>A\cos(\omega t+\phi) = a\cos(\omega t)+b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)</math></center>
+Para hallar sus valores, aplicamos la relación trigonómetrica
+<center><math>\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y)+\,\mathrm{sen}\,(x)\,\mathrm{sen}\,(y)</math></center>
 ===Velocidad===
 ===Conservación de la energía===
 ===Fórmula de Euler===
 [[Categoría:Problemas de movimiento oscilatorio]]

Solución general del MAS

De Laplace

Revisión de 11:26 7 feb 2009

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Valor de a y b

2.2 Amplitud y desfase

2.3 Velocidad

2.4 Conservación de la energía

2.5 Fórmula de Euler

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