Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Caso de movimiento con aceleración constante (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 139: Línea 139:
El centro de curvatura se halla prolongando el vector de posición en la dirección del vector normal
El centro de curvatura se halla prolongando el vector de posición en la dirección del vector normal
-
<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}_1+R\vec{N}=(1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k})+3(-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k})=\left(-0.10\vec{\imath}+0.84\vec{\jmath}+1.88\vec{k}\right)\mathm{m}</math></center>
+
<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}_1+R\vec{N}=(1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k})+3(-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k})=\left(-0.10\vec{\imath}+0.84\vec{\jmath}+1.88\vec{k}\right)\mathrm{m}</math></center>
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]

Revisión de 21:57 12 nov 2016

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve con aceleración constante, de forma que en tres instantes sucesivos ocupa las siguientes posiciones

t(s) \vec{r} (\mathrm{m})
0\, -0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}
1\, 1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k}
2\, 4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}
  1. Halle la velocidad media en el intervalo (0 s,2 s)
  2. Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en t = 0\,\mathrm{s}) y la aceleración del movimiento valen

\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s} y \vec{a}=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

  1. Para el instante t = 1\,\mathrm{s}, halle:
    1. La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas
    2. La aceleración tangencial y la aceleración normal (escalares)
    3. Los vectores del triedro de Frenet \left\{\vec{T},\vec{N},\vec{B}\right\}
    4. El radio de curvatura y el centro de curvatura.

2 Velocidad media

En lo que sigue todas las cantidades con dimensiones están en las unidades fundamentales del SI: m, s o combinaciones de estos.

La velocidad media en un intervalo es el vector

\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

que en el intervalo (0 s,2 s) da

\vec{v}_m=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{t_2-t_0}=\frac{\left(4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}\right)-\left(-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}\right)}{2}=\left(2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Velocidad inicial y aceleración

Al ser un movimiento de aceleración constante (aunque no rectilíneo; en general este tipo de movimientos es parabólico), la posición y la velocidad cumplen, en cada instante

\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}_0t^2\qquad\qquad \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}_0t

Para determinar los coeficientes de una parábola basta imponer la posición de tres puntos. En este caso en concreto ya tenemos el coeficiente \vec{r}_0. Aplicando la ecuación del movimiento con aceleración constante a los instantes t = 1 s y t = 2s queda

\vec{r}_1=\vec{r}(t=1)=\vec{r}_0+\vec{v}_0+\frac{1}{2}\vec{a}_0

y

\vec{r}_2=\vec{r}(t=2)=\vec{r}_0+2\vec{v}_0+2\vec{a}_0

Sustituimos los vectores de posición y obtenemos el sistema

\begin{array}{rcccl}\vec{v}_0+\dfrac{1}{2}\vec{a}_0 &= & \vec{r}_1-\vec{r}_0 & = & 1.70\vec{\imath} -0.48\vec{\jmath}-0.36\vec{k}\\ &&&& \\ \vec{v}_0+\vec{a}_0& =& \dfrac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{2}& = & 2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\end{array}

(este úlltimo vector ya lo habíamos calculado en el primer apartado). Restamos la primera de la segunda y hallamos la aceleración

\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

y restando la segunda del doble de la primera hallamos la velocidad inicial

\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}

Alternativamente, como en el propio enunciado se da el resultado, es posible probarlo comprobando que en t = 1 s y en t = 2 s se obtiene el resultado dado en la tabla (hace falta sustituir en los dos instantes, no basta uno).

4 Magnitudes en t = 1s

4.1 Velocidad, rapidez y aceleración

Por tratarse de un movimiento con aceleración constante, la aceleración en t = 1 s es la misma que en t = 0 s

\vec{a}_1=\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2

mientras que la velocidad en este instante vale

\vec{v}_1=\vec{v}(t=1)=\vec{v}_0+\vec{a}_0=2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}

Esta velocidad instantánea coincide con la velocidad media calculada en el primer apartado. Es una cosnecuencia del movimiento con aceleración constante: en un intervalo, la velocidad media coincide con la media aritmética de las velocidades en los extremos y con la velocidad instantánea en el centro del intervalo.

La rapidez es el módulo de esta velocidad

\left|\vec{v}\right|=\sqrt{2.40^2+1.44^2+1.08^2}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

4.2 Componentes intrínsecas de la aceleración

4.2.1 Aceleración tangencial

Calculamos primero el vector tangente normalizando la velocidad

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}+0.48\vec{\jmath}+0.36\vec{k}

y calculamos la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre este vector

a_t=\vec{a}\cdot\vec{T}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}=1.40\times 0.80+3.84\times 0.48+2.88\times 0.36=4.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

El vector aceleración tangencial será esta cantidad escalar multiplicada por el vector tangente

\vec{a}_t=a_t\vec{T}=\left(3.20\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

4.2.2 Aceleración normal

Una vez que tenemos la aceleración tangencial podemos hallar el vector aceleración normal restando los vectores

\vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\left(-1.80\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y una vez que la tenemos, calculamos su módulo para obtener la aceleración normal escalar

a_n=|\vec{a}_n|=\sqrt{1.80^2+1.92^2+1.44^2}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

Alternativamente, si solo deseamos la cantidad escalar podemos hallarla empleando el teorema de Pitágoras

a_n=\sqrt{|\vec{a}|^2-a_t^2}=\sqrt{25-16}=3.00\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

o con la fórmula a partir de la velocidad y la aceleración

a_n=|\vec{T}\times\vec{a}|=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{|\vec{v}|}

4.3 Triedro de Frenet

El vector tangente ya lo hemos calculado

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=0.80\vec{\imath}+0.48\vec{\jmath}+0.36\vec{k}

El vector normal lo podemos obtener normalizando el vector aceleración normal, si lo hemos calculado

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{-1.80\vec{\imath}+1.92\vec{\jmath}+1.44\vec{k}}{3}=-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k}

y, una vez que tenemos estos dos vectores calculamos el binormal mediante el producto vectorial

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}& \vec{\jmath}& \vec{k} \\ 0.8 & 0.48 & 0.36 \\ -0.60 & 0.64 & 0.48\end{matrix}\right|=-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}

Alternativamente, podemos hallar en primer lugar el vector binormal como el unitario perpendicular a la velocidad y la aceleración

\vec{B}=\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}

y luego el normal a partir de éste y el tangente

\vec{N}=\vec{B}\times\vec{T}

4.4 Radio y centro de curvatura

El radio de curvatura se halla a partir de la rapidez y la aceleración

R=\frac{|\vec{v}|^2}{a_n}=\frac{|\vec{v}|^3}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{9}{3}=3\,\mathrm{m}

El centro de curvatura se halla prolongando el vector de posición en la dirección del vector normal

\vec{r}_c=\vec{r}_1+R\vec{N}=(1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k})+3(-0.60\vec{\imath}+0.64\vec{\jmath}+0.48\vec{k})=\left(-0.10\vec{\imath}+0.84\vec{\jmath}+1.88\vec{k}\right)\mathrm{m}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Caso_de_movimiento_con_aceleraci%C3%B3n_constante_(GIE)"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace