Caso de movimiento con aceleración constante (GIE)
De Laplace
| Línea 10: | Línea 10: | ||
|- | |- | ||
| <math>1\,</math> | | <math>1\,</math> | ||
| - | | <math>1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0. | + | | <math>1.70\vec{\imath}-1.08\vec{\jmath}+0.44\vec{k}</math> |
|- | |- | ||
| <math>2\,</math> | | <math>2\,</math> | ||
| Línea 16: | Línea 16: | ||
|} | |} | ||
| - | # Halle la velocidad media en el intervalo ( | + | # Halle la velocidad media en el intervalo (0 s,2 s) |
# Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en <math>t = 0\,\mathrm{s}</math>) y la aceleración del movimiento valen | # Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en <math>t = 0\,\mathrm{s}</math>) y la aceleración del movimiento valen | ||
| - | <math>\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y <math>\vec{a}=(1.40\vec{\imath} | + | <math>\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math> y <math>\vec{a}=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math> |
# Para el instante <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>, halle: | # Para el instante <math>t = 1\,\mathrm{s}</math>, halle: | ||
## La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas | ## La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas | ||
| Línea 26: | Línea 26: | ||
==Velocidad media== | ==Velocidad media== | ||
| + | '''En lo que sigue todas las cantidades con dimensiones están en las unidades fundamentales del SI: m, s o combinaciones de estos'''. | ||
| + | |||
La velocidad media en un intervalo es el ''vector'' | La velocidad media en un intervalo es el ''vector'' | ||
<center><math>\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}</math></center> | <center><math>\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}</math></center> | ||
| - | que en el intervalo ( | + | que en el intervalo (0 s,2 s) da |
<center><math>\vec{v}_m=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{t_2-t_0}=\frac{\left(4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}\right)-\left(-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}\right)}{2}=\left(2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center> | <center><math>\vec{v}_m=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{t_2-t_0}=\frac{\left(4.80\vec{\imath}+2.28\vec{\jmath}+2.96\vec{k}\right)-\left(-0.60\vec{\jmath}+0.80\vec{k}\right)}{2}=\left(2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center> | ||
| - | |||
==Velocidad inicial y aceleración== | ==Velocidad inicial y aceleración== | ||
| + | Al ser un movimiento de aceleración constante (aunque no rectilíneo; en general este tipo de movimientos es parabólico), la posición y la velocidad cumplen, en cada instante | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\vec{v}_0t+\frac{1}{2}\vec{a}_0t^2\qquad\qquad \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}_0t</math></center> | ||
| + | |||
| + | Para determinar los coeficientes de una parábola basta imponer la posición de tres puntos. En este caso en concreto ya tenemos el coeficiente <math>\vec{r}_0</math>. Aplicando la ecuación del movimiento con aceleración constante a los instantes ''t'' = 1 s y ''t'' = 2s queda | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{r}_1=\vec{r}(t=1)=\vec{r}_0+\vec{v}_0+\frac{1}{2}\vec{a}_0</math></center> | ||
| + | |||
| + | y | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{r}_2=\vec{r}(t=2)=\vec{r}_0+2\vec{v}_0+2\vec{a}_0</math></center> | ||
| + | |||
| + | Sustituimos los vectores de posición y obtenemos el sistema | ||
| + | |||
| + | <center><math> | ||
| + | \begin{array}{rcccl}\vec{v}_0+\dfrac{1}{2}\vec{a}_0 &= & \vec{r}_1-\vec{r}_0 & = & 1.70\vec{\imath} -0.48\vec{\jmath}-0.36\vec{k}\\ &&&& \\ | ||
| + | \vec{v}_0+\vec{a}_0& =& \dfrac{\vec{r}_2-\vec{r}_0}{2}& = & 2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | (este úlltimo vector ya lo habíamos calculado en el primer apartado). Restamos la primera de la segunda y hallamos la aceleración | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}+3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math></center> | ||
| + | |||
| + | y restando la segunda del doble de la primera hallamos la velocidad inicial | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{v}_0=(1.00\vec{\imath}-2.40\vec{\jmath}-1.80\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Alternativamente, como en el propio enunciado se da el resultado, es posible probarlo comprobando que en ''t'' = 1 s y en ''t'' = 2 s se obtiene el resultado dado en la tabla (hace falta sustituir en los dos instantes, no basta uno). | ||
| + | |||
==Magnitudes en t = 1s== | ==Magnitudes en t = 1s== | ||
===Velocidad, rapidez y aceleración=== | ===Velocidad, rapidez y aceleración=== | ||
| + | Por tratarse de un movimiento con aceleración constante, la aceleración en ''t'' = 1 s es la misma que en ''t'' = 0 s | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{a}_1=\vec{a}_0=(1.40\vec{\imath}-3.84\vec{\jmath}+2.88\vec{k})\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math></center> | ||
| + | |||
| + | mientras que la velocidad en este instante vale | ||
| + | |||
| + | <center><math>\vec{v}_1=\vec{v}(t=1)=\vec{v}_0+\vec{a}_0=2.40\vec{\imath}+1.44\vec{\jmath}+1.08\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Esta velocidad instantánea coincide con la velocidad media calculada en el primer apartado. Es una cosnecuencia del movimiento con aceleración constante: en un intervalo, la velocidad media coincide con la media aritmética de las velocidades en los extremos y con la velocidad instantánea en el centro del intervalo. | ||
| + | |||
| + | La rapidez es el módulo de esta velocidad | ||
| + | |||
| + | <center><math>\left|\vec{v}\right|=\sqrt{2.40^2+1.44^2+1.08^2}=3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center> | ||
===Componentes intrínsecas de la aceleración=== | ===Componentes intrínsecas de la aceleración=== | ||
===Triedro de Frenet=== | ===Triedro de Frenet=== | ||
===Radio y centro de curvatura=== | ===Radio y centro de curvatura=== | ||
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]] | ||
Revisión de 21:16 12 nov 2016
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula se mueve con aceleración constante, de forma que en tres instantes sucesivos ocupa las siguientes posiciones
| t(s) | 
|
|---|---|
| 
|
| 
|
| 
|
- Halle la velocidad media en el intervalo (0 s,2 s)
- Demuestre que la velocidad instantánea inicial (en
) y la aceleración del movimiento valen
y 
- Para el instante
, halle:
- La velocidad, la rapidez y la aceleración instantáneas
- La aceleración tangencial y la aceleración normal (escalares)
- Los vectores del triedro de Frenet
- El radio de curvatura y el centro de curvatura.
2 Velocidad media
En lo que sigue todas las cantidades con dimensiones están en las unidades fundamentales del SI: m, s o combinaciones de estos.
La velocidad media en un intervalo es el vector
que en el intervalo (0 s,2 s) da
3 Velocidad inicial y aceleración
Al ser un movimiento de aceleración constante (aunque no rectilíneo; en general este tipo de movimientos es parabólico), la posición y la velocidad cumplen, en cada instante
Para determinar los coeficientes de una parábola basta imponer la posición de tres puntos. En este caso en concreto ya tenemos el coeficiente 
. Aplicando la ecuación del movimiento con aceleración constante a los instantes t = 1 s y t = 2s queda
y
Sustituimos los vectores de posición y obtenemos el sistema
(este úlltimo vector ya lo habíamos calculado en el primer apartado). Restamos la primera de la segunda y hallamos la aceleración
y restando la segunda del doble de la primera hallamos la velocidad inicial
Alternativamente, como en el propio enunciado se da el resultado, es posible probarlo comprobando que en t = 1 s y en t = 2 s se obtiene el resultado dado en la tabla (hace falta sustituir en los dos instantes, no basta uno).
4 Magnitudes en t = 1s
4.1 Velocidad, rapidez y aceleración
Por tratarse de un movimiento con aceleración constante, la aceleración en t = 1 s es la misma que en t = 0 s
mientras que la velocidad en este instante vale
Esta velocidad instantánea coincide con la velocidad media calculada en el primer apartado. Es una cosnecuencia del movimiento con aceleración constante: en un intervalo, la velocidad media coincide con la media aritmética de las velocidades en los extremos y con la velocidad instantánea en el centro del intervalo.
La rapidez es el módulo de esta velocidad
