Problemas de Movimiento oscilatorio

De Laplace

Revisión de 17:29 6 feb 2009

%========================================================================= \item Un balón que se ha dejado caer desde una altura de 4\,m choca con el suelo con una colisión perfectamente elástica. Suponiendo que no se pierde energía debido a la resistencia del aire, demuestre que el movimiento es periódico. Determine el periodo del movimiento, ¿Es éste un movimiento armónico simple?

%========================================================================= \item La solución general de la ecuación de movimiento \[ m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x \] es de la forma \[ x = a \cos(\omega t)+b\sen(\omega t)\qquad \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \] con $a$ y $b$ dos constantes dependientes de las condiciones iniciales. \begin{enumerate} \item Halle el valor de las constantes $a$ y $b$ si la posición inicial de la partícula es $x_0$ y su velocidad inicial es $v_0$. \item Demuestre que la ecuación horaria \[ x = A \cos\left(\omega t+\phi\right) \] es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes $\{A,\phi\}$ y las constantes $\{a,b\}$. Exprese $A$ y $\phi$ en función de la posición y la velocidad iniciales, $x_0$ y $v_0$. \item Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales. \item Demuestre que la cantidad \[ E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 \] no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales? \item Demuestre que $x = \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}$, con $\mathrm{j}=\mathrm{i}=\sqrtPlantilla:-1$, la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación \[ \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm{j}\sen(\omega t) \] \end{enumerate} %============================================================================

%============================================================================= \item Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente, en una silla que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo de oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una constante $k=605.6 \,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y el periodo de oscilación de la silla vacía era de 0.90149\,s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo medido fue 2.08832\,s. Calcule la masa del astronauta. %===========================================================================

%===================================================================== \item Una partícula de masa $m$ se encuentra sobre una mesa, unida a un punto fijo de ésta (que tomaremos como origen de coordenadas) mediante un muelle de constante $k$. En el instante $t=0$ se la sitúa en la posición $\mathbf{r}_0 = x_0\mathbf{u}_x$ y se le comunica una velocidad $\mathbf{v}_0=v_0\mathbf{u}_y$. \begin{enumerate} \item Halle la posición de la partícula en cualquier instante. \item ¿Cómo es la trayectoria de la partícula? \item Demuestre que, en este movimiento, las cantidades \[ E=\frac{1}{2}m\left|\mathbf{v}\right|^2+\frac{1}{2}k\left|\mathbf{r}\right|^2\qquad \mathbf{L}=m\mathbf{r}\times\mathbf{v} \] son constantes de movimiento. \end{enumerate} %=====================================================================

%============================================================================ \item Determine la frecuencia de oscilación de una masa $m$ unida a dos muelles de constantes $k_1$ y $k_2$ cuando (a) los muelles están conectados en serie y (b) los muelles están conectados en paralelo. %===================================================================

%%=================================================================== %\item Una balanza de frutero cuelga verticalmente de forma que cuando %sólo está el plato, de 200\,g, el muelle está estirado 1\,cm. De %pronto, el frutero suelta 1\,kg de plátanos en el plato. Despreciando %el rozamiento, %\begin{enumerate} %\item ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones resultantes? %\item ¿Cuál es su periodo? %\item ¿Cuál es la velocidad máxima de los plátanos? %\item ¿Cuánto vale la energía mecánica del sistema si tomamos como %referencia de alturas la posición inicial? %\item Suponga que, estando en el punto más bajo de sus oscilaciones, %uno de los plátanos (de 100\,g de masa) cae del plato. ¿Cuál es la %amplitud de las oscilaciones que hace el plato a partir de ese momento? %\end{enumerate} %%=====================================================================

%=================================================================== \item Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1$^\circ$ (b) 10$^\circ$ (c) 30$^\circ$ (d) 60$^\circ$ (e) 90$^\circ$. %====================================================================

%%====================================================================== %\item Un reloj de péndulo se ajusta exactamente en Sevilla (latitud %37$^\circ$ 22'). Posteriormente se traslada, sin reajustarlo, a %Estocolmo (latitud 59$^\circ$ 21'). En esta localidad sueca el reloj %¿adelantará o atrasará? ¿Cuál es, aproximadamente, el error relativo %cometido en la medida del periodo? Supóngase la Tierra esférica con %radio $R_T = 6370\,\mathrm{km}$ %%========================================================================

%======================================================================== \item Un acelerómetro consiste en un péndulo que se cuelga del techo de un vehículo, el cual se mueve con una cierta aceleración. \begin{enumerate} \item Suponga que este vehículo es la cabina de un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración constante $a_0$. El periodo de oscilación del péndulo, ¿aumenta o disminuye? ¿En qué proporción respecto a su valor en reposo? \item Si el vehículo es un camión que avanza horizontalmente con aceleración $a_0$, ¿qué ángulo con la vertical formará el péndulo en equilibrio? ¿En qué proporción varía el periodo de oscilación para este péndulo? \item Si el vehículo es una caja que desliza libremente por un plano inclinado 30$^\circ$, ¿qué ángulo con el suelo de la caja formará el hilo del péndulo en equilibrio? ¿En qué proporción varía el periodo de oscilación? \end{enumerate} %==================================================================

%====================================================================== \item Una partícula de masa $m$ se desliza sin rozamiento dentro de un recipiente de forma hemisférica de radio $R$. Demuestre que el movimiento de la partícula sobre el cuenco es equivalente a un péndulo de longitud $R$. %===================================================================

%%====================================================================== %\item Calcular la velocidad con hay que impulsar la lenteja de un %péndulo ideal, de masa $m$, desde su punto más bajo si se quiere que %llegue a una altura $h$ %\begin{enumerate} %\item si la masa cuelga de una barra rígida de longitud $L$. %\item si la masa cuelga de un hilo de longitud $L$. %\end{enumerate} %%=======================================================================

%====================================================================== \item Una partícula está sometida exclusivamente a una fuerza, dependiente de la posición, dada por \[ F(x) = ax - bx^3\qquad (b>0) \] \begin{enumerate} \item Halle la expresión de la energía potencial y la energía mecánica para la partícula. Esboce las gráficas para los casos $a<0$ y $a>0$. \item Demuestre que el movimiento de la partícula siempre es acotado, y periódico. \item Localice las posiciones de equilibrio de la partícula (a) si $a<0$ (b) si $a>0$. \item Suponga que la partícula se suelta desde una posición muy próxima a las posiciones de equilibrio calculadas en el apartado anterior. ¿En qué caso describe oscilaciones? Halle el valor aproximado del periodo de oscilación para este movimiento. \end{enumerate} %=======================================================================

%====================================================================== \item Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso $F_r=-b v$, de forma que su ecuación de movimiento es \[ ma =-b v-kx \] \begin{enumerate} \item Demuestre que la energía mecánica \[ E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 \] es una función decreciente con el tiempo. \item Si buscamos una solución particular de la forma $x = A \mathrm{e}^{-\lambda t}$, calcule los dos valores que puede tener $\lambda$. La solución general será una combinación de las dos posibilidades: \[ x = A_1 \mathrm{e}^{-\lambda_1 t}+A_2 \mathrm{e}^{-\lambda_2 t} \] \item ¿Cuál es el máximo valor de $b$ para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si $b$ supera ese valor? \item Considere el caso particular de una partícula de masa $m=1\,\mathrm{kg}$ se encuentra sujeta a un muelle de constante $k=1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, existiendo un rozamiento $b$. Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad $v_0=0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ si (a) $b = 1.6\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}$; (b) $b = 2.5\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}$, (c) $b = 2.0\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}$. \end{enumerate} %===================================================================

%%=================================================================== %\item Un bebé disfruta durante el día arriba y abajo en su cuna. Su %masa es de 12.5\,kg y el somier de la cuna puede ser modelado como un %muelle de masa despreciable con una constante de recuperación de %4.30\,kN/m. %\begin{enumerate} %\item El bebé aprende rápidamente a dar botes con la máxima amplitud y %el mínimo esfuerzo. ¿Con qué frecuencia debe flexionar las rodillas %para conseguirlo? %\item El bebé aprende a utilizar el somier como un trampolín, perdiendo %contacto con el somier durante unos instantes en cada ciclo. Para que %esto suceda, ¿qué valor debe superar la amplitud del movimiento? %\end{enumerate} %%=====================================================================

%===================================================================== \item Un niño juega con un resorte de constante $k=20\,\mathrm{mN}\cdot\mathrm{m}$ y fricción despreciable del cual cuelga una masa $m=200\,\mathrm{g}$, sujetando el otro extremo del resorte entre sus dedos, con la mano extendida horizontalmente. El niño agita la mano arriba y abajo, con una amplitud $b=2\,\mathrm{cm}$ y una frecuencia $\omega$. Determine la posición de la pesa, si esta oscila con la misma frecuencia que la mano. ¿En qué condiciones la pesa llegará a golpearle la mano?

%====================================================================== \item Un circuito formado por una resistencia $R$, un condensador $C$ y una autoinducción $L$, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito: \[ L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{Q}{C}=0\qquad I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \] \begin{enumerate} \item Suponga en primer lugar que la resistencia es nula ($R=0$). Pruebe que la carga del condensador oscila armónicamente. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿Qué energía se conserva, análogamente a la energía mecánica de un oscilador armónico? \item Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cuál es la resistencia máxima para que haya oscilaciones en el sistema? \item Suponga que además de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna, que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son \[ L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{Q}{C}=V_0\cos(\omega t)\qquad I = \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \] Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como función de los parámetros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado. \end{enumerate} %==================================================================== \end{enumerate}