Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Cinemática de la partícula (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 94: Línea 94:
==Posición, trayectoria y ley horaria==
==Posición, trayectoria y ley horaria==
 +
Una partícula material es, en mecánica, un modelo en el que un objeto se considera con masa, pero ocupando solo un punto del espacio. Se aplica al estudio de cuerpos cuyas dimensiones son mucho menores que las distancias que recorre o a puntos particulares de cuerpos extensos, como puede ser el centro de masas de un sistema.
 +
 +
===Posición y desplazamiento===
 +
En su movimiento por el espacio, la posición de una partícula va cambiando de forma continua
 +
 +
<center><math>\vec{r}_P(t)= x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z(t)\vec{k}</math></center>
 +
 +
aunque usualmente no se indica de forma explícita la dependencia con el tiempo.
 +
 +
Cuando la posición de una partícula se da de esta forma se dice que tenemos la ''ecuación horaria'' de su movimiento.
 +
 +
El desplzamiento de una partícula en un intervalo es la diferencia vectorial entre sus posiciónes
 +
 +
<center><math>\Delta \vec{r}=\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)</math></center>
 +
 +
Cuando este desplazamiento es muy pequeño comparado con las distancias típicas recorridas, se dice que tenemos un ''desplazamiento diferencial'', <math>\mathrm{d}\vec{r}</math>.
 +
===Trayectoria===
 +
A la curva que describe la partícula en su movimiento se la denomina la ''trayectoria'' de la partícula.
 +
 +
Una misma trayectoria puede ser escrita por una infinitud de ecuaciones horarias diferentes, dependiendo del ritmo con el que recorra.
 +
 +
Para identificar una trayectoria independientemente del tiempo se suele describir la curva en forma paramétrica
 +
 +
<center><math>\vec{r}_P(\theta)= x(\theta)\vec{\imath}+y(\theta)\vec{\jmath}+z(\theta)\vec{k}</math></center>
 +
 +
siendo &theta; una variable continua que identifica de forma unívoca los puntos de la curva.
 +
 +
De entre los diferentes parámetros posibles, destaca el llamado parámetro arco o parámetro natural, <math>s</math>, que mide la distancia sobre la curva (en el caso de una carretera serían los puntos kilométricos). El parámetro arco se obtiene sumando las distancias diferenciales a lo largo de la trayectoria
 +
 +
<center><math>\mathrm{d}s=\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|</math></center>
 +
 +
===Ley horaria===
 +
Cuando se tiene la trayectoria parametrizada en términos de la distancia medida sobre la curva la descripción se completa indicando cómo cambia esta variable con el tiempo. Esta dependencia temporal se conoce como ''ley horaria'':
 +
 +
<center><math>s = s(t)\,</math></center>
 +
 +
En el ejemplo de un coche que va de Sevilla a Granada, la ley horaria sería la hora a la que pasó por cada punto del camino sin prestar atención si en ese punto en concreto la carretera va hacia el sur o hacia el este.
 +
 +
Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:
 +
 +
<center><math>\mbox{ecuacion horaria}\ \vec{r}=\vec{r}(t)=\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}(s) & \mbox{trayectoria}\\ & \\ s=s(t)& \mbox{ley horaria}\end{cases}</math></center>
 +
 +
Si en lugar del parámetro arco, se describe la trayectoria con otra variable también se denomina ley horaria a la dependencia de esta variable con el tiempo. Así, en general:
 +
 +
<center><math>\mbox{ecuacion horaria}\ \vec{r}=\vec{r}(t)=\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}(\varphi) & \mbox{trayectoria}\\ & \\ \varphi=\varphi(t)& \mbox{ley horaria}\end{cases}</math></center>
 +
 +
Sigue aquí [[Velocidad_y_aceleración_en_tres_dimensiones_(GIE)|Velocidad y aceleración en tres dimensiones]]
 +
 +
 +
==Velocidad==
==Velocidad==
==Aceleración==
==Aceleración==
[[Categoría:Mecánica de la partícula y de los sistemas (CMR)]]
[[Categoría:Mecánica de la partícula y de los sistemas (CMR)]]

Revisión de 17:13 14 sep 2016

Contenido

1 Introducción

2 Sistemas de referencia

En Mecánica Clásica se considera que el espacio es euclídeo, es decir, que podemos construir sistemas de referencia cartesianos que se extienden a todo el espacio.

Los puntos del espacio pueden etiquetarse mediante letras, O, P, Q,… Sin embargo, para operar con ellos, es conveniente emplear coordenadas, que no son más que etiquetas numéricas que identifican cada punto de forma unívoca.

Existen muchos sistemas de coordenadas posibles. Las más sencillas son las coordenadas cartesianas

Dado un punto del espacio, O, que tomamos como origen de coordenadas, tomamos tres planos que pasan por dicho punto y que sean ortogonales entre sí, que denominaremos XY, XZ e YZ. Definimos entonces las coordenadas cartesianas de cualquier otro punto como las distancias (con signo), x, y, z a estos planos coordenados (x la distancia al YZ, y al XZ, y z al XY).

Los planos se cortan en tres rectas, también ortogonales entre sí, que denominamos ejes de coordenadas OX, OY y OZ (o simplemente X, Y y Z).

Los vectores unitarios tangentes a estos ejes forman una base ortonormal que denotamos como \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}.

Por ser ortonormales, verifican

\begin{array}{ccccc} \vec{\imath}\cdot\vec{\imath}=1 & \qquad & \vec{\jmath}\cdot\vec{\jmath}=1 & \qquad & \vec{k}\cdot\vec{k}=1 \\ \vec{\imath}\cdot\vec{\jmath}=0 & \qquad & \vec{\imath}\cdot\vec{k}=0 & \qquad & \vec{\jmath}\cdot\vec{k}=0 \end{array}

o, en forma de tabla:

\cdot\, \vec{\imath} \vec{\jmath} \vec{k}
\vec{\imath} 1 0 0
\vec{\jmath} 0 1 0
\vec{k} 0 0 1

Esta base canónica es además dextrógira, esto es, verifica la regla de la mano derecha cuando los vectores se colocan en el orden \{\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\}. Empleando el producto vectorial, esto se expresa

\vec{\imath} \times \vec{\jmath} = \vec{k}

y análogamente para el resto de productos: positivo si se gira en sentido antihorario y negativo si se va en sentido horario en la figura. En forma de tabla:

\times\, \vec{\imath} \vec{\jmath} \vec{k}
\vec{\imath} \vec{0} \vec{k} -\vec{\jmath}
\vec{\jmath} -\vec{k} \vec{0} \vec{\imath}
\vec{k} \vec{\jmath} -\vec{\imath} \vec{0}

En términos de esta base, cualquier vector podrá escribirse como una combinación lineal

\vec{A}=A_x\vec{\imath}+A_y\vec{\jmath}+A_z\vec{k}

La posición de cualquier punto P puede expresarse mediante su vector de posición, que es aquél que tiene como origen el de coordenadas y como extremo el punto P (es, por tanto, un vector ligado)

\vec{r}_P =\overrightarrow{OP} =x_p\vec{\imath}+y_p\vec{\jmath}+z_p\vec{k}

La posición relativa del punto Q respecto al punto P la da el vector que tiene por origen P y por extremo Q. Es inmediato obtener las componentes de este vector en la base cartesiana, conocidas las coordenadas cartesianas del origen y del extremo. Basta restarle las primeras a las segundas. Si P(xp,yp,zp) y Q(xq,yq,zq), el vector \overrightarrow{PQ} es:

\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}= (x_q-x_p)\vec{\imath}+(y_q-y_p)\vec{\jmath}+(z_q-z_p)\vec{k}

3 Posición, trayectoria y ley horaria

Una partícula material es, en mecánica, un modelo en el que un objeto se considera con masa, pero ocupando solo un punto del espacio. Se aplica al estudio de cuerpos cuyas dimensiones son mucho menores que las distancias que recorre o a puntos particulares de cuerpos extensos, como puede ser el centro de masas de un sistema.

3.1 Posición y desplazamiento

En su movimiento por el espacio, la posición de una partícula va cambiando de forma continua

\vec{r}_P(t)= x(t)\vec{\imath}+y(t)\vec{\jmath}+z(t)\vec{k}

aunque usualmente no se indica de forma explícita la dependencia con el tiempo.

Cuando la posición de una partícula se da de esta forma se dice que tenemos la ecuación horaria de su movimiento.

El desplzamiento de una partícula en un intervalo es la diferencia vectorial entre sus posiciónes

\Delta \vec{r}=\vec{r}(t_2)-\vec{r}(t_1)

Cuando este desplazamiento es muy pequeño comparado con las distancias típicas recorridas, se dice que tenemos un desplazamiento diferencial, \mathrm{d}\vec{r}.

3.2 Trayectoria

A la curva que describe la partícula en su movimiento se la denomina la trayectoria de la partícula.

Una misma trayectoria puede ser escrita por una infinitud de ecuaciones horarias diferentes, dependiendo del ritmo con el que recorra.

Para identificar una trayectoria independientemente del tiempo se suele describir la curva en forma paramétrica

\vec{r}_P(\theta)= x(\theta)\vec{\imath}+y(\theta)\vec{\jmath}+z(\theta)\vec{k}

siendo θ una variable continua que identifica de forma unívoca los puntos de la curva.

De entre los diferentes parámetros posibles, destaca el llamado parámetro arco o parámetro natural, s, que mide la distancia sobre la curva (en el caso de una carretera serían los puntos kilométricos). El parámetro arco se obtiene sumando las distancias diferenciales a lo largo de la trayectoria

\mathrm{d}s=\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|

3.3 Ley horaria

Cuando se tiene la trayectoria parametrizada en términos de la distancia medida sobre la curva la descripción se completa indicando cómo cambia esta variable con el tiempo. Esta dependencia temporal se conoce como ley horaria:

s = s(t)\,

En el ejemplo de un coche que va de Sevilla a Granada, la ley horaria sería la hora a la que pasó por cada punto del camino sin prestar atención si en ese punto en concreto la carretera va hacia el sur o hacia el este.

Según esto, las ecuaciones horarias del movimiento pueden descomponerse en la trayectoria por un lado y la ley horaria por otro:

\mbox{ecuacion horaria}\ \vec{r}=\vec{r}(t)=\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}(s) & \mbox{trayectoria}\\ & \\ s=s(t)& \mbox{ley horaria}\end{cases}

Si en lugar del parámetro arco, se describe la trayectoria con otra variable también se denomina ley horaria a la dependencia de esta variable con el tiempo. Así, en general:

\mbox{ecuacion horaria}\ \vec{r}=\vec{r}(t)=\begin{cases}\vec{r}=\vec{r}(\varphi) & \mbox{trayectoria}\\ & \\ \varphi=\varphi(t)& \mbox{ley horaria}\end{cases}

Sigue aquí Velocidad y aceleración en tres dimensiones


4 Velocidad

5 Aceleración

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Cinem%C3%A1tica_de_la_part%C3%ADcula_(CMR)"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace