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Campo de una distribución cilíndrica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→En el cilindro interior)
(→Solución)
Línea 59: Línea 59:
* la contenida en una corona cilíndrica de radio interior <math>a/2</math> y exterior <math>\rho</math>, con densidad <math>-\rho_0</math>
* la contenida en una corona cilíndrica de radio interior <math>a/2</math> y exterior <math>\rho</math>, con densidad <math>-\rho_0</math>
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<center><math>Q_\mathrm{int}=\int \rho_0\,\mathrm{d}\tau = \rho_0 \pi \rho^2 h</math></center>
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<center><math>Q_\mathrm{int}=\int\rho_0\,\mathrm{d}\tau+\int \sigma_s\,\mathrm{d}S+\int(-\rho_0)\mathrm{d}\tau= \frac{\rho_0\pi a^2h}{4}+\pi\frac{\rho_0a}{2}a h-\rho_0\pi h\left(\rho^2-\frac{a^2}{4}\right=\rho_0 \Pi h(a^2-\rho^2)</math></center>
Aplicando la ley de Gauss
Aplicando la ley de Gauss
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<center><math>2\pi\rho h E = \frac{\rho_0\pi \rho^2h}{\varepsilon_0}</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=\frac{\rho_0\rho}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_\rho\quad \left(\rho<\frac{a}{2}\right)</math></center>
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<center><math>2\pi\rho h E = \frac{\rho_0\pi h(a^2-\rho^2)}{\varepsilon_0}</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=\frac{\rho_0}{2\varepsilon_0}\left(\frac{a^2}{\rho}-\rho\mathbf{u}_\rho\quad \left(\frac{a}{2}< \rho<a\right)</math></center>
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====En el exterior del sistema====
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Si el radio de la superficie de integración <math>\rho > a</math>, la carga encerrada es nula, tal como vimos en el primer aparatdo, por tanto
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<math>Q_\mathrm{int}=0</math>
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y también lo es el campo eléctrico
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<math>\mathbf{E}=\mathbf{0}\,</math>
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====Expresión completa====
===Diferencia de potencial===
===Diferencia de potencial===
===Densidad de energía electrostática===
===Densidad de energía electrostática===
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

Revisión de 14:14 16 ene 2009

Contenido

1 Enunciado

Un cilindro de radio a y longitud indefinida, mucho mayor que el radio, está relleno de sendas distribuciones de carga eléctrica de signo opuesto y densidades volumétricas constantes ρ0 y − ρ0, según se muestra en la figura. Además, en la superficie de separación entre ambas distribuciones, ρ = a / 2, existe una distribución superficial uniforme de carga.
  1. Calcule el valor de dicha densidad superficial de carga si el campo eléctrico es nulo en los puntos exteriores al cilindro
  2. Obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio
  3. Calcule la diferencia de potencial entre el centro de la distribución y la superficie exterior.
  4. Halle la densidad de energía electrostática en cualquier punto del espacio, así como la energía almacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

2 Solución

2.1 Densidad superficial de carga

Si el campo exterior es nulo, al calcular su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio ρ y altura h, exterior al cilindro de carga el flujo es nulo. Esto quiere decir, por aplicación de la ley de Gauss, que también lo es la carga encerrada en este cilindro

0 = \oint\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}

A su vez la carga encerrada es la suma de la carga de volumen y de la superficial

Q_\mathrm{int}=\int\rho_0\,\mathrm{d}\tau+\int \sigma_s\,\mathrm{d}S+\int(-\rho_0)\mathrm{d}\tau

Como las tres distribuciones son uniformes, la contribución de cada una es igual al integrando multiplicado por el dominio de integración (un cilindro, una superficie cilíndrica y una corona cilíndrica), esto es

  • Cilindro interior
\int \rho_0\,\mathrm{d}\tau = \rho_0 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h=\frac{\rho_0\pi a^2h}{4}
  • Superficie cilíndrica intermedia
\int\sigma_s\,\mathrm{d}S = 2\pi\sigma_s\frac{a}{2}h=\pi\sigma_s a h
  • Corona cilíndrica exterior
\int \left(-\rho_0\right)\,\mathrm{d}\tau = -\rho_0 \pi \left(a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\right) h = -\frac{3\rho_0\pi a^2h}{4}

Sumando las tres contribuciones e imponiendo la anulación

0 = -\frac{\pi \rho_0a^2 h}{2}+\pi\sigma_sa h   \Rightarrow   \sigma_s =\frac{\rho_0a}{2}

2.2 Campo eléctrico

Una vez que tenemos las densidades de carga podemos hallar el campo eléctrico aplicando la ley de Gauss en forma integral.

Por la simetría del sistema podemos considerar que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia al eje del cilindro y por tanto el campo eléctrico es radial y dependiente de esta misma distancia

\phi = \phi(\rho)\,   \Rightarrow   \mathbf{E}=-\nabla\phi = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\rho}\mathbf{u}_\rho = E(\rho)\mathbf{u}_\rho

Si consideramos una superficie cilíndrica de altura h y radio ρ < a, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie contiene solamente la contribución de la cara lateral, en la cual el módulo del campo es constante

\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{S_L} \left(E(\rho)\mathbf{u}_\rho\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\mathbf{u}_\rho\right) = 2\pi\rho h E(\rho)

Este flujo debe ser igual a la carga encerrada dividida por \varepsilon_0. Tenemos tres posibilidades

2.2.1 En el cilindro interior

Si consideramos ρ < a / 2, la carga encerrada es la contenida en un volumen cilíndrico de radio ρ con densidad uniforme ρ0

Q_\mathrm{int}=\int \rho_0\,\mathrm{d}\tau = \rho_0 \pi \rho^2 h

Aplicando la ley de Gauss

2\pi\rho h E = \frac{\rho_0\pi \rho^2h}{\varepsilon_0}   \Rightarrow   \mathbf{E}=\frac{\rho_0\rho}{2\varepsilon_0}\mathbf{u}_\rho\quad \left(\rho<\frac{a}{2}\right)

2.2.2 En la corona cilíndrica

Si consideramos a / 2 < ρ < a, tenemos tres contribuciones a la carga encerrada:

  • la de en un cilindro de radio a / 2, con densidad + ρ0
  • la de la superficie cilíndrica de radio a / 2, con densidad σs = ρ0a / 2
  • la contenida en una corona cilíndrica de radio interior a / 2 y exterior ρ, con densidad − ρ0
No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): Q_\mathrm{int}=\int\rho_0\,\mathrm{d}\tau+\int \sigma_s\,\mathrm{d}S+\int(-\rho_0)\mathrm{d}\tau= \frac{\rho_0\pi a^2h}{4}+\pi\frac{\rho_0a}{2}a h-\rho_0\pi h\left(\rho^2-\frac{a^2}{4}\right=\rho_0 \Pi h(a^2-\rho^2)

Aplicando la ley de Gauss

2\pi\rho h E = \frac{\rho_0\pi h(a^2-\rho^2)}{\varepsilon_0}   \Rightarrow   No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): \mathbf{E}=\frac{\rho_0}{2\varepsilon_0}\left(\frac{a^2}{\rho}-\rho\mathbf{u}_\rho\quad \left(\frac{a}{2}< \rho<a\right)

2.2.3 En el exterior del sistema

Si el radio de la superficie de integración ρ > a, la carga encerrada es nula, tal como vimos en el primer aparatdo, por tanto

Qint = 0

y también lo es el campo eléctrico

\mathbf{E}=\mathbf{0}\,

2.2.4 Expresión completa

2.3 Diferencia de potencial

2.4 Densidad de energía electrostática

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Campo_de_una_distribuci%C3%B3n_cil%C3%ADndrica"

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