Momento de inercia de sólidos esféricos
De Laplace
(→Esfera hueca) |
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==Esfera maciza== | ==Esfera maciza== | ||
| + | Existen diferentes formas de abordar este problema, que es un clásico de cálculo integral. | ||
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| + | Aquí lo haremos considerando la esfera como superposición de discos de espesor diferencial. | ||
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| + | Si tenemos un disco de radio <math>r</math>, altura diferencial <math>\mathrm{d}z</math>, su momento de inercia, también diferencial, es el correspondiente a un cilindro macizo | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}I = \frac{1}{2}\mathrm{d}m\,r^2</math></center> | ||
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| + | siendo la masa de cada disco el producto de la densidad por el volumen | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}V= \pi\rho r^2\,\mathrm{d}z</math></center> | ||
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| + | La densidad de una efsera maciza homogénea es igual a la masa total dividida por el volumen total | ||
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| + | <center><math>\rho = \frac{M}{4\pi R^3/3}=\frac{3M}{4\pi R^3}</math></center> | ||
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| + | lo que nos da el diferencial de masa | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}m = \frac{3M r^2\,\mathrm{d}z}{4 R^3}</math></center> | ||
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| + | y de momento de inercia | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}I = \frac{3M r^4}{8R^3}\,\mathrm{d}z</math></center> | ||
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| + | El momento de inercia total de la esfera será la suma de los de todos los discos apilados | ||
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| + | <center><math>I = \int_M \mathrm{d}I = \int_{-R}^R \frac{3M r^4}{8R^3}\,\mathrm{d}z</math></center> | ||
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| + | En esta integral aparece el radio de cada disco, pero la variable de integración es la altura z a la que se encuentra cada uno (considerando el origen en el centro de la esfera). Estas dos cantidades se relacionan por el teorema de Pitágoras | ||
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| + | <center><math>r^2+ z^2 = R^2\,</math></center> | ||
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| + | lo que nos deja con la integral | ||
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| + | <center><math>I=\frac{3M}{8R^3}\int_{-R}^R(R^2-z^2)^2\,\mathrm{d}z</math></center> | ||
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| + | con solución | ||
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| + | <center><math>I = \frac{2}{5}M R^2</math></center> | ||
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==Corona esférica== | ==Corona esférica== | ||
| + | Cuando tenemos una corona esférica, de masa M, radio interior <math>R_1</math> y exterior <math>M_2</math>, podemos emplear la misma técnica que en otros problemas y considerar masas negativas. | ||
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| + | La corona esférica puede verse como la superposición de una esfera de radio <math>R_2</math> y densidad <math>+\rho</math> con una de radio <math>R_1</math>, densidad <math>-\rho</math>, concéntrica con la primera. | ||
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| + | La masa de cada esfera sería | ||
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| + | <center><math>M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho R_2^3\qquad \qquad M_1 = -\frac{4\pi}{3}\rho R_1^3</math></center> | ||
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| + | debiéndose cumplir que la masa total valga <math>M</math> | ||
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| + | <center><math>M = M_1 + M_2 = \frac{4\pi}{3}\rho (R_2^3-R_1^3) \qquad\Rightarrow\qquad \rho = \frac{3M}{4\pi(R_2^3-R_1^3)}</math></center> | ||
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| + | Los momentos de inercia de cada esfera valen, de la misma manera, | ||
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| + | <center><math>I_2=\frac{2}{5}M_2R_2^2 = \frac{8\pi}{15}\rho R_2^5\qquad \qquad I_1 = \frac{2}{5}M_1R_1^3 = -\frac{8\pi}{15}\rho R_1^5</math></center> | ||
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| + | Sumando las dos contribuciones hallamos el momento de inercia de la esfera completa | ||
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| + | <center><math>I=I_1+I_2= \frac{8\pi \rho (R_2^5-R_1^5)}{15}</math></center> | ||
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| + | Sustituimos aquí el valor de la densidad de masa | ||
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| + | <center><math>I = \frac{2M(R_2^5-R_1^5)}{5(R_2^3-R_1^3)}</math></center> | ||
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==Esfera hueca== | ==Esfera hueca== | ||
| + | La expresión anterior conduce a la de una esfera maciza sin más que hacer <math>R_1=0</math>. | ||
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| + | Para obtener el momento de inercia de una superficie esférica de masa M y radio R hay que ser más cuidadoso, ya que al hacer <math>R_1 = R_2=R</math> aparece una indeterminación del tipo 0/0. Puede resolverse aplicando la regla de L'Hôpital | ||
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| + | <center><math>I = \lim_{R_1\to R}\frac{2M(R^5-R_1^5)}{5(R^3-R_1^3)}= \frac{2M}{5}\,\frac{(-5R^4)}{(-3R^2)}= \frac{2}{3}MR^2</math></center> | ||
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Revisión de 17:53 31 ene 2015
Contenido |
1 Enunciado
Calcule el momento de inercia de una esfera maciza, de masa M y radio R alrededor de de un eje que pasa por su centro.
A partir del resultado anterior, halle el momento de inercia de una esfera hueca, de masa M, radio interior R1 y exterior R2 respecto a un eje que pasa por su centro. ¿A qué se reduce el resultado cuando la corona se reduce a una superficie esférica de radio R?
2 Esfera maciza
Existen diferentes formas de abordar este problema, que es un clásico de cálculo integral.
Aquí lo haremos considerando la esfera como superposición de discos de espesor diferencial.
Si tenemos un disco de radio r, altura diferencial dz, su momento de inercia, también diferencial, es el correspondiente a un cilindro macizo
siendo la masa de cada disco el producto de la densidad por el volumen
La densidad de una efsera maciza homogénea es igual a la masa total dividida por el volumen total
lo que nos da el diferencial de masa
y de momento de inercia
El momento de inercia total de la esfera será la suma de los de todos los discos apilados
En esta integral aparece el radio de cada disco, pero la variable de integración es la altura z a la que se encuentra cada uno (considerando el origen en el centro de la esfera). Estas dos cantidades se relacionan por el teorema de Pitágoras
lo que nos deja con la integral
con solución
3 Corona esférica
Cuando tenemos una corona esférica, de masa M, radio interior R1 y exterior M2, podemos emplear la misma técnica que en otros problemas y considerar masas negativas.
La corona esférica puede verse como la superposición de una esfera de radio R2 y densidad + ρ con una de radio R1, densidad − ρ, concéntrica con la primera.
La masa de cada esfera sería
debiéndose cumplir que la masa total valga M
Los momentos de inercia de cada esfera valen, de la misma manera,
Sumando las dos contribuciones hallamos el momento de inercia de la esfera completa
Sustituimos aquí el valor de la densidad de masa
4 Esfera hueca
La expresión anterior conduce a la de una esfera maciza sin más que hacer R1 = 0.
Para obtener el momento de inercia de una superficie esférica de masa M y radio R hay que ser más cuidadoso, ya que al hacer R1 = R2 = R aparece una indeterminación del tipo 0/0. Puede resolverse aplicando la regla de L'Hôpital
