Vector superficie
De Laplace
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| + | Esta integral puede escribirse como una circulación | ||
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| + | <center><math>\left|\mathbf{I}\right| = \oint \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathbf{v}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y</math></center> | ||
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| + | Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes | ||
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| + | <center><math>\left|\mathbf{I}\right| = \oint \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \oint\left(\nabla\times\mathbf{v}\right)\cdot\mathrm{d}\mathbd{S}</math></center> | ||
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Revisión de 17:14 24 dic 2008
1 Enunciado
Demuestre que integrando alrededor de una curva cerrada, Γ, del plano XY, se cumple que
donde 
es el vector de posición y S el área encerrada por Γ.
A partir de aquí, deduzca que para una curva arbitraria en el espacio
donde 
es un vector cuyas componentes son las áreas de las proyecciones de la curva sobre los planos
coordenados.
2 Solución
Supongamos, en primer lugar, que tenemos una curva plana, sobre la que situamos el plano XY. En este plano
El módulo de la integral es por tanto igual a
Esta integral puede escribirse como una circulación
Podemos entonces aplicar el teorema de Stokes
