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Ecuaciones de la dinámica del sólido rígido

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Fuerza única)
(→Sistemas equivalentes)
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la aceleración angular. Esta ecuación es el análogo para rotación de la segunda ley de Newton.
la aceleración angular. Esta ecuación es el análogo para rotación de la segunda ley de Newton.
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==Energía==
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===Energía cinética===
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Tal como se ve al estudiar los sistemas de partículas, para la energía cinética de un sistema se cumple
==Sistemas equivalentes==
==Sistemas equivalentes==
De las ecuaciones anteriores  
De las ecuaciones anteriores  

Revisión de 16:18 8 ene 2015

Contenido

1 Introducción

Un sólido, como cualquier otro sistema de partículas está sometido a un conjunto de fuerzas. Las fuerzas sobre cada partícula pueden ser internas (debidas a otra partícula del mismo sólido) o externas (debidas a un agente externo, como la gravedad o un campo eléctrico aplicado).

Las fuerzas internas son importantes en cuanto a que son las que producen la propia existencia del sólido. Se trata de fuerzas cohesivas intensas que consiguen que cada átomo mantenga una posición aproximadamente fija respecto al resto de partículas del sólido.

Sin embargo, una vez admitida la aplicabilidad del modelo de sólido rígido, podemos ignorar la presencia de las fuerzas internas.

La razón es la siguiente: el movimiento de un sólido rígido posee 6 grados de libertad, que se pueden describir mediante las tres componentes de la velocidad lineal de un punto y las tres componentes de la velocidad angular del sólido. A su vez, estos dos vectores se relacionan directamente con la cantidad de movimiento y el momento cinético del sólido.

Por tanto, para determinar las ecuaciones de movimiento del sólido nos basta con el teorema de la cantidad de movimiento y el teorema del momento cinético. Para un sistema de partículas cualquiera (entre los que se incluye el sólido rígido), las ecuaciones de evolución de \vec{p} y \vec{L}_O dependen exclusivamente de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema, por lo que podemos restringirnos a ellas.

Suponemos entonces que sobre la partícula mi de un sólido actúa la fuerza externa \vec{F}_i. Estas fuerzas pueden ser debidas a que algún agente externo actúa sobre ellas o pueden ser fuerzas de reacción vincular (o una combinación de ambas). Así, en una articulación entre dos sólidos, cada uno de ellos experimenta un conjunto de fuerzas de reacción vincular que los obligan a moverse como corresponde al par cinemático correspondiente y no de otra forma.

2 Campo de velocidades del sólido

Según el teorema de Chasles, la velocidad de cualquier punto de un sólido puede hallarse conocida la velocidad de un punto de referencia, A, y la velocidad angular del sólido

\vec{v}(\vec{r}) = \vec{v}_A + \vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_A)

En particular, el punto de referencia puede ser el centro de masas del sólido

\vec{v} = \vec{v}_C + \vec{\omega}\times(\vec{r}-\vec{r}_C) = \vec{v}_C+\vec{\omega}\times\vec{r}^{\,,}

Empleando los vectores de posición relativa

\vec{v}_P=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AP}

con el caso particular

\vec{v}_P=\vec{v}_C+\vec{\omega}\times\overrightarrow{CP}

3 Movimiento del centro de masas

Para determinar el movimiento del centro de masas nos basta con aplicar que para un sistema de partículas

\vec{p}=M\vec{v}_C

y, derivando aquí respecto al tiempo,

\vec{a}_C=\frac{1}{M}\vec{F}

siendo \vec{F} la resultante de todas las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido, independientemente de sobre qué partícula se apliquen.

Según esto, basta con sumar vectorialmente las diferentes fuerzas aplicadas para determinar la aceleración del CM, el cual se moverá como una partícula cuya masa sea la total del sólido.

En el caso particular del peso, la resultante es

\vec{F}= \int_M \vec{g}\,\mathrm{d}m = \vec{g}\,\int_M \mathrm{d}m = M\vec{g}

Es decir, la resultante del peso de todo el sólido equivale al peso de una sola partícula cuya masa sea la total del sólido. Esta ecuación, junto con la anterior, nos dice que si un objeto es lanzado y se encuentra sometido exclusivamente a su peso, su centro de masas describe una parábola.

Este resultado no quiere decir que el sólido efectúe un movimiento de traslación con la velocidad del CM, sino que, en general, el sólido describirá un movimiento de rotación en torno al centro de masas. Para determinar la evolución de la velocidad angular con la que rota debemos recurrir a la ecuación para el momento cinético.

4 Movimiento alrededor del centro de masas

De acuerdo con las propiedades de un sistema de partículas, el momento cinético de un sólido respecto a un punto O equivale a

\vec{L}_O = M\vec{r}_C\times\vec{v}_C+\vec{L}_C

con \vec{L}_C el momento cinético correspondiente al movimiento respecto al CM. En el caso de un sólido simétrico respecto al eje de giro, esta expresión se reduce a

\vec{L}_O = M\vec{r}_C\times\vec{v}_C+I\vec{\omega}

por ello, su derivada respecto al tiempo nos da la ecuación de movimiento para la rotación del sólido.

El teorema del momento cinético para un sistema de partículas establece que, dado un punto fijo O

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O

siendo \vec{M}_O el momento resultante respecto al punto O de las fuerzas aplicadas

\vec{M}_O=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i

Este teorema también es aplicable al centro de masas, aunque se trate de un punto móvil, es decir

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_C}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_C\qquad\qquad \vec{M}_C=\sum_i\overrightarrow{CP}_i\times\vec{F}_i

Por tanto, para determinar la rotación del sólido en torno al CM nos basta con calcular la resultante de las momentos respecto al CM de las diferentes fuerzas aplicadas sobre el sólido.

En el caso de un sólido simétrico, esta derivada temporal es igual a

\vec{L}_C=I\vec{\omega}\qquad\qquad \vec{M}_C=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_C}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\vec{\omega}+I\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}

A diferencia de la ecuación de la cantidad de movimiento, en la que la masa es una constante, el momento de inercia es una función del tiempo, incluso en casos de sólidos simétricos. La razón es que el eje respecto al que se calcula puede estar cambiando en el tiempo, por lo que en cada instante I va a representar una magnitud diferente.

No obstante, el momento de inercia es constante en los siguientes casos particulares de interés:

  • Rotación en torno a un eje fijo (p.ej. un rotor, o un péndulo que oscila en torno a un anclaje fijo).
  • La dirección de la velocidad angular es constante (como ocurre en el movimiento plano).
  • El momento de inercia es independiente del eje que se elija, siempre que pase por el CM del sólido (p.ej., para una esfera, pero también para un sólido cúbico).

En esos casos, la ecuación se reduce a

\vec{M}_C=I\vec{\alpha}

con

\vec{\alpha}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}

la aceleración angular. Esta ecuación es el análogo para rotación de la segunda ley de Newton.

5 Energía

5.1 Energía cinética

Tal como se ve al estudiar los sistemas de partículas, para la energía cinética de un sistema se cumple

6 Sistemas equivalentes

De las ecuaciones anteriores

\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=M\vec{a}_C=\vec{F}=\sum_i\vec{F}_i
\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O=\sum_i\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i

se deduce que para determinar la evolución de un sólido solo precisamos dos cantidades vectoriales:

  • La resultante \vec{F} de las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido
  • La resultante \vec{M}_A de los momentos de las fuerzas aplicadas respecto a un punto fijo A, o del CM del sólido.

Aunque la expresión de las ecuaciones de movimiento quedan más simples si se emplea como punto de referencia el centro de masas, puede emplear un punto fijo arbitrario, siendo la ecuación correspondiente

\vec{M}_A = \frac{\mathrm{d}\vec{L}_A}{\mathrm{d}t}\qquad\qquad \vec{L}_A=M\overrightarrow{AC}\times\vec{v}_C+\vec{L}_C

y dado el momento de las fuerzas hallado respecto a un punto podemos hallar el correspondiente a cualquier otro con la relación

\vec{M}_B = \vec{M}_A + \overrightarrow{BA}\times\vec{F}=\vec{M}_A + \vec{F}\times \overrightarrow{AB}

Esto quiere decir que los diferentes sistemas de fuerzas que actúan sobre un sólido pueden clasificarse en sistemas equivalentes, identificados cada uno por la fuerza resultante y el momento resultante. Dos sistemas equivalentes tendrán el mismo efecto físico sobre el sólido.

Por ejemplo, dado un bloque situado sobre un suelo horizontal, no existe diferencia física entre empujarlo horizontalmente por su parte trasera o tirar horizontalmente desde la delantera. En ambos casos, la resultante es la misma y también lo es el momento de las fuerzas.

Por ello, el análisis de los casos posibles puede reducirse a los casos más sencillos. Dada la similitud entre la relación entre momentos y el teorema de Chasles, la lista de casos posibles es análoga a la clasificación de los movimientos rígidos.

6.1 Vectores deslizantes

Se denomina recta soporte de una fuerza \vec{F}_0 aplicada en un punto P0 a aquella que pasa por el punto de aplicación y lleva la dirección de la fuerza:

\overrightarrow{OP}(\lambda)=\overrightarrow{OP}_0+\lambda\vec{F}_0

Por las propiedades del producto vectorial, el momento de la fuerza \vec{F}_0 es el mismo si en vez de estar aplicada en P0 está aplicada en cualquier otro punto P1 de la recta soporte.

\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}_1\times\vec{F}_0=\left(\overrightarrow{OP}_0+\lambda\vec{F}_0\right)\times\vec{F}_0=\overrightarrow{OP}_0\times\vec{F}_0

Por ello, se dice que las fuerzas aplicadas sobre un sólido son vectores deslizantes. El efecto físico que producen es el mismo si se desliza su punto de aplicación a lo largo de la recta soporte.

6.2 Teorema de Varignon

De entre los diferentes teoremas aplicables para la determinación de sistemas equivalenteso, existe uno de especial utilidad, especialmente en el caso de figuras planas, ya que facilita la solución por métodos geométricos.

Dadas varias fuerzas concurrentes el momento resultante de las distintas fuerzas es igual al momento de la resultante de ellas aplicada en el punto de concurrencia.

Donde entendemos como fuerzas concurrentes aquellas cuyas rectas soporte se cortan en un punto P.

La demostración es la siguiente: tenemos n fuerzas concurrentes, \vec{F}_1, \vec{F}_2,... \vec{F}_n, aplicadas en los puntos A1, A2,... An. El momento resultante respecto a un punto O es

\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i

Ahora bien, por pasar cada recta soporte por el punto de concurrencia P se cumple para cada una

\overrightarrow{PA}_i\times\vec{F}_i=\vec{0}

por ser vectores paralelos. Por tanto, para cada momento individual

\overrightarrow{OA}_i\times\vec{F}_i = (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PA}_i)\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i

y para la resultante

\vec{M}_O=\sum_i \overrightarrow{OP}\times\vec{F}_i=\overrightarrow{OP}\times\left(\sum_i\vec{F}_i\right)=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}

Por tanto, el procedimiento para hallar el momento resultante consiste en llevar todas las fuerzas al punto de concurrencia, hallar la resultante de todas las fuerzas y luego calcular su momento respecto al punto O.

Empleando las propiedades de los vectores deslizantes, el teorema de Varignon, y otras propiedades de los sistemas de fuerzas, es posible ir reduciendo un sistema a uno equivalente formado por solo dos fuerzas o, lo que es lo mismo, una fuerza y un momento, que determinan completamente la dinámica del sólido.

7 Casos particulares

Los diferentes sistemas de fuerzas aplicadas sobre un sólido pueden reducirse cada uno a un sistema equivalente \{\vec{F},\vec{M}_O\}. Dependiendo de si alguno de estos vectores es nulo o no, obtenemos los siguientes casos particulares:

7.1 Equilibrio de un sólido

El caso más simple es aquel en que

\vec{F}=\vec{0}\qquad\qquad\vec{M}_O=\vec{0}

En este caso no hay acción neta sobre el sólido, por lo que este continúan en su estado de movimiento anterior.

Si el sólido se encontraba en un estado de reposo, continúa en él. El estudio de las condiciones en que esto ocurre constituye el objeto de la estática del sólido rígido. Habitualmente implica la introducción de fuerzas de reacción vincular que debe ser determinadas para las situaciones de equilibrio.

Si el solido se encuentra efectuando un movimiento rígido (traslación, rotación o helicoidal), continúa moviéndose. Su centro de masas continúa en un movimiento rectilíneo y uniforme, mientras que el sólido mantiene un estado de rotación en torno al centro de masas, que no tiene por qué ser uniforme. En esto un sólido es diferente de una partícula aislada. Para que una partícula aislada mantenga un movimiento de rotación es precisa una fuerza actuando sobre ella de forma continua. Para que un sólido mantenga una rotación no es preciso (como muestra el movimiento de rotación de la Tierra, por ejemplo).

7.2 Par de fuerzas

Supongamos ahora un sólido sometido simultáneamente a dos fuerzas iguales y opuestas, aplicadas sobre puntos diferentes A y B, de forma que la fuerzas actúan sobre rectas soporte paralelas. Esta configuración se conoce como par de fuerzas (o simplemente par o torque). En este caso

\vec{F}_A=-\vec{F}_B\qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B = -\vec{F}_B+\vec{F}_B = \vec{0}

La resultante de las fuerzas aplicadas es nula, por lo que el centro de masas no se ve acelerado.

El momento de las fuerzas es distinto de cero y es independiente del punto respecto al que se calcule.

\vec{M}_O = \overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A + \overrightarrow{OB}\times\vec{F}_B = (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\times\vec{F}_B=\overrightarrow{AB}\times\vec{F}_B

El momento respecto a O es independiente de la posicion del punto O. Por tanto, en presencia de un par de fuerzas, es indiferente calcular el momento respecto del centro de masas o de cualquier otro punto. A este vector \vec{M}_O se le conoce como el“ momento del par”, o simplemente el “par” (ya que es equivalente dar las dos fuerzas y sus puntos de aplicación o dar directamente este vector).

Este vector es perpendicular al plano donde se encuentran las dos rectas sobre las que actúan las fuerzas y tiene por módulo

|\vec{M}_O| = \left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\vec{F}_B\right|\mathrm{sen}(\theta) = |\vec{F}_B|d

siendo

d = \left|\overrightarrow{AB}\right|\mathrm{sen}(\theta)

la distancia entre las dos rectas soporte. A esta distancia se la denomina el brazo del par.

El efecto de un par de fuerzas es producir una aceleración angular alrededor del CM del sólido. Obsérvese que este efecto depende tanto de la magnitud de la fuerza aplicada como de la longitud del brazo. Un ejemplo de la vida diaria lo tenemos en el giro de la puerta alrededor de su bisagra. No es lo mismo aplicar una fuerza empujando un pomo situado cerca del borde de la puerta, que aplicar la misma fuerza en el centro de la puerta o justo al lado de la bisagra.

Archivo:cosa-momento.jpg

7.3 Fuerza única

Si sobre un sólido actúa una única fuerza en un punto A, pueden darse dos situaciones:

  • Que la línea de acción de la fuerza aplicada pase por el centro de masas. En este caso el efecto de la fuerza es acelerar el CM, pero no produce rotación del sólido, con lo que éste, si estaba inicialmente en reposo, tiende a realizar un movimiento de traslación.
  • Que la recta soporte pase a una distancia d del CM. En este caso, ni la resultante ni el momento son nulos
\vec{F}=\vec{F}_A \qquad\vec{M}_C = \overrightarrow{CA}\times\vec{F}_A\qquad\Rightarrow\qquad |\vec{M}_C|= |\vec{F}_A|d
El efecto es una aceleración del CM, combinado con una aceleración angular. Este sistema es equivalente a uno formado por tres fuerzas. La fuerza \vec{F}_A que ya tenemos, una \vec{F}_C=-\vec{F}_A sobre una recta que pase por el CM y una \vec{F}'_C=\vec{F}_C sobre esta misma recta. Puesto que estamos sumando y restando lo mismo es claro que el sistema es equivalente, pero también los podemos ver como un par de fuerzas combinado con una fuerza que pasa por el CM. El efecto del par es la rotación y el de la fuerza la aceleración lineal.

Cuando tenemos una única fuerza actuando sobre un sólido, la recta sobre la cual actúa se denomina eje central.

Un conjunto de fuerzas es equivalente a una sola cuando tiene una resultante no nula y existe algún punto (una recta de puntos), tales que el momento de las fuerzas es nulo respecto a este punto. La recta definida por este punto y la dirección de la fuerza resultante es el eje central. La condición para que exista este eje central es que

\vec{F}\neq \vec{0}\qquad\qquad \vec{M}_O\cdot\vec{F}=0

y la posición del eje central, respecto al punto O, es

\vec{r}_E = \frac{\vec{M}_O\times\vec{F}}{|\vec{F}|^2}+\lambda\vec{F}

Un ejemplo de un sistema reducible a una sola fuerza es el peso. En principio hay una fuerza actuando sobre cada uno de las partículas del sólido, siendo su resultante

\vec{F}=m_1\vec{g}+m_2\vec{g}+\cdots = (m_1+m_2+...)\vec{g}=M\vec{g}

y el momento resultante

\vec{M}_O = \sum_i\overrightarrow{OP}_i\times(m_i\vec{g}) = \left(\sum_im_i\overrightarrow{OP}_i\right)\times\vec{g}=M\overrightarrow{OC}\times\vec{g}= \overrightarrow{OC}\times(M\vec{g})

Es decir, la acción conjunta del peso de todo el sólido equivale a una única fuerza aplicada sobre el centro de masas (razón por la que también se lo denomina centro de gravedad).

7.4 Caso general

En el caso general, hallamos la resultante \vec{F} y el momento resultante \vec{M}_O en el punto O que más nos interese (no necesariamente el CM, sino que suele ser aquél punto respecto del cual los momentos se calculen de la manera más simple). En analogía con el teorema de Chasles podemos establecer la siguiente clasificación de los casos posibles, y el sistema equivalente mínimo:

  • Si \vec{F}=\vec{0} y \vec{M}_O=\vec{0}, el sólido no se acelera ni lineal ni angularmente.
  • Si \vec{F}=\vec{0} y \vec{M}_O\neq\vec{0}, el sistema equivale a un par de fuerzas; se produce aceleración angular, pero no lineal
  • Si \vec{F}\neq\vec{0} y \vec{M}_O\cdot\vec{F}=0 el sistema equivale a una única fuerza aplicada sobre el llamado eje central. Si el eje central pasa por el CM se produce aceleración lineal pero no angular. Si no pasa por él se producen las dos aceleraciones.
  • Si \vec{F}\neq\vec{0} y \vec{M}_O\cdot\vec{F}\neq 0 el sistema equivale a una fuerza superpuesta a un par. Se produce tanto aceleración lineal como angular.

Todo sistema de fuerzas puede reducirse a solo dos fuerzas actuando simultáneamente.

8 Fuerzas y momentos de reacción

Cuando tenemos un contacto entre dos sólidos y entre ellos se forma un par cinemático, los grados de libertad del movimiento relativo se ven reducidos. O bien uno de los sólidos no puede moverse en una dirección o en otra, o no puede girar, o no puede moverse de ninguna de las formas…

Estas restricciones sobre el movimiento se producen porque uno de los sólidos ejerce fuerzas sobre el otro (y viceversa, de acuerdo con la tercera ley de Newton). Estas fuerzas son de contacto y en principio difíciles de determinar individualmente pues para saber la distribución de fuerzas punto a punto es preciso salirse del modelo de sólido rígido. Lo que si se puede determinar es la resultante de las fuerzas de reacción, \vec{F}_R y el momento resultante de estas fuerzas de reacción respecto al punto O de contacto, que denotaremos con la letra \vec{M}_{RO}.

Según esto, podemos sustituir cada vínculo por una combinación de fuerza y par \{\vec{F}_R,\vec{M}_R\} cuyo efecto dinámico es el mismo del vínculo al que sustituyen. La fuerza y el par se suponen aplicados en el punto de contacto entre los sólidos. En principio, cada uno de ellos puede tener una dirección arbitraria

\vec{F}_R=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}+F_z\vec{k}\qquad\qquad \vec{M}_{RO}=M_x\vec{\imath}+M_y\vec{\jmath}+M_z\vec{k}

pero si el vínculo permite un determinado desplazamiento libre, por ejemplo, en la dirección del eje Z, quiere decir que no se está ejerciendo ninguna fuerza de reacción en dicha dirección por lo que Fz = 0. Por ello, para cada par cinemático, las componentes nulas son las correspondientes a los grados de libertad disponibles. Así, para los casos más usuales tenemos las fuerzas y pares de reacción siguientes:

Par cilíndrico (corredera cilíndrica)
El sólido 2 está obligado a girar en torno a un cierto eje, sobre el cual puede haber una cierta velocidad de deslizamiento. El vínculo se produce mediante una fuerza perpendicular a la dirección de deslizamiento y un momento que impide girar en una dirección diferente a la del eje.
\vec{F}_R=F_x\vec{\imath}+F_y\vec{\jmath}\qquad\qquad \vec{M}_{RO}=M_x\vec{\imath}+M_y\vec{\jmath}
O equivalentemente, no hay fuerza ni par en los sentidos de movimiento admisibles
F_z = 0\qquad\qquad M_z = 0
Par helicoidal (tornillo)
Como en el anterior, el sólido 2 gira en torno a un eje dado, sobre el cual se desliza, pero la velocidad de deslizamiento no es arbitraria, sino que está condicionada por el paso de rosca, b, que es la distancia que avanza cuando gira una vuelta completa. Como en el caso anterior, existe un para y una fuerza con componentes transversales, pero cuyas componentes longitudinales no son nulas, sino que están relacionadas por el hecho de que fuerzan al movimiento helicoidal
F_z b + 2\pi M_z = 0\,
Par de revolución (bisagra)
De nuevo el eje de giro está fijado, pero ahora la velocidad de deslizamiento es nula. La fuerza de reacción pueden tener cualquier valor, mientras que el par de reacción no tiene componente en la dirección en que el giro es libre
M_z = 0\,
Par de deslizamiento (corredera rectangular)
El sólido 2 puede deslizarse a lo largo de un cierto eje, pero no puede girar en torno a él (un único grado de libertad relativa). En este caso el par puede ir en cualquier dirección, pues se impide cualquier giro, mientras que la fuerza de reacción no tiene componente en la dirección en que se permite el deslizamiento
F_z=0\,
Par esférico (rótula o articulación)
El punto A (centro de la rótula) es un punto fijo en el movimiento relativo de los dos sólidos. El sólido 2 puede girar libremente (pero no trasladarse) respecto al 1. Por ello la fuerza de reacción puede tener cualquier dirección, mientras que el par de reacción es nulo, ya que todos los giros son posibles
\vec{M}_{RO}=\vec{0}
Par rígido (empotramiento, voladizo o cantilever)
Los dos sólidos forman en realidad uno solo, ya que en el punto de contacto la unión es rígida. En este caso puede haber una fuerza de reacción en cualquier dirección y par en cualquier dirección, no siendo nula ninguna de sus componentes.

Como en el caso de los vínculos sobre una partícula, los vínculos sobre sólidos pueden ser bilaterales o unilaterales. En el primer caso, se oponen a un desplazamiento o a una rotación en los dos sentidos, por lo que la ligadura se puede expresar como una igualdad y la componente correspondiente de la fuerza o del par puede tener cualquier signo. En el caso unilateral, se oponen a un desplazamiento o rotación en un sentido pero no en el opuesto, por lo que se expresan como desigualdades y la componente de la fuerza o el par puede tener un signo pero no el opuesto.

Como ejemplo de vínculo unilateral tenemos el del vuelco. Imaginemos una caja apoyada en una base inferior de anchura B. La caja ejerce una fuerza sobre la base, que es respondida con una reacción hacia arriba. En realidad, es una infinitud de reacciones distribuidas sobre toda la superficie de contacto.

Archivo:vuelco-diferencial.png

Si hallamos la resultante de las fuerzas y el momento resultante respecto de un punto del borde de la base (que tomamos como x = 0, con la base en x > 0), obtenemos \vec{F}_R y \vec{M}_{RO}. Ahora bien, la reacción del suelo solo impide que la pila gire hacia el interior, pero no puede impedir que gire hacia el exterior y vuelque. Por ejemplo, supongamos que el centro de masas de la caja se encuentra a una distancia b del borde de la base. La ecuaciones de equilibrio del bloque nos dan

\vec{F}-Mg\vec{k}=\vec{0}\qquad \qquad \vec{M}_{RO} + (b\vec{\imath}+h\vec{k})\times(-Mg\vec{k}) = \vec{0}

con lo que para que haya equilibrio la fuerza y el par de reacción deben valer

\vec{F}_R=Mg\vec{k}\qquad \qquad \vec{M}_{RO}=-Mgb\vec{\jmath}

La primera ecuación se cumple sin problemas, pero la segunda no siempre es posible. Si b < 0, implicaría un par de reacción que tiende a girar al bloque hacia la izquierda, lo cual es imposible. Dicho de otra forma, si hallamos la resultante de los momentos de las fuerzas de reacción punto a punto, siempre nos resultará un momento en sentido contrario. En ese caso la reacción no retiene a la caja y esta vuelca. La regla básica para que un objeto no vuelque es que la vertical del CM pase por el interior del perímetro de la base. Si se encuentra en el exterior se produce vuelco.

Archivo:vuelco-caja-estable.png        Archivo:vuelco-caja-inestable.png

9 Potencia desarrollada sobre un sólido

Cuando sobre un sólido actúa un sistema de fuerzas externas, se desarrolla una potencia que modifica su energía cinética. La potencia total desarrollada será la suma de la potencia desarrollada sobre cada una de las partículas que lo componen

P = \vec{F}_A\cdot\vec{v}_A+\vec{F}_B\cdot\vec{v}_B+\cdots

Si sustituimos la expresión del campo de velocidades

\vec{v}_A = \vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OA}

obtenemos

P = \sum_i(\vec{v}_O+\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}_i)\cdot\vec{F}_i=\vec{v}_O\cdot\left(\sum_i\vec{F}_i\right)+\vec{\omega}\cdot\left(\sum_o\overrightarrow{OP}_i\times\vec{F}_i\right)

donde hemos hecho uso de la propiedad vectorial

=(\vec{\omega}\times\overrightarrow{OP}_i)\cdot\vec{F}_i = \vec{\omega}\cdot(\overrightarrow{OP}_i \times\vec{F}_i)

La expresión para la potencia se puede reducir entonces a

P = \vec{v}_O\cdot\vec{F} + \vec{\omega}\cdot\vec{M}_O

En particular, el punto O de referencia puede ser el centro de masas del sólido y escribirse

P = \vec{F}\cdot\vec{v}_C + \vec{M}_C\cdot\vec{\omega}

que nos dice que el trabajo realizado en la unidad de tiempo se distribuye en dos partes, una aumenta la energía cinética de traslación con el centro de masas y otra la de rotación alrededor del CM.

Por el teorema de las fuerzas vivas, esta potencia equivale al incremento de la energía cinética por unidad de tiempo

P = \frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}

con

K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 + \frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\vec{L}_C

Equivalentemente, esto nos dice que el trabajo diferencial realizado sobre un sólido por un sistema de fuerzas externas es igual a

\delta W = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_C + \vec{M}_O\cdot\vec{\omega}\,\mathrm{d}t

El producto \vec{\omega}\,\mathrm{d}t es igual el ángulo girado en un diferencial de tiempo multiplicado por la dirección del eje de giro

\vec{\omega}\,\mathrm{d}t=\mathrm{d}\theta\,\vec{u}

Esto nos da el trabajo diferencial

\delta W = \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_C + M_\omega\,\mathrm{d}\theta

que nos dice que el trabajo para cambiar el estado de rotación es igual a la componente del momento en la dirección del eje de giro (la única que realiza trabajo) multiplicada por el ángulo girado. Es de nuevo una analogía entre traslación y rotación.

En el caso de que el sólido esté sometido exclusivamente al peso (y a fuerzas de reacción que no realizan trabajo), esta potencia es igual a la disminución de la energía potencial gravitatoria

P = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}t}=-\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(Mgz_C)

lo que nos da la conservación de la energía mecánica para un sólido simétrico

\frac{1}{2}M|\vec{v}_C|^2 + \frac{1}{2}I|\vec{\omega}|^2 + M g z_C = \mathrm{cte}

Esta ley nos dice que cuando un cuerpo desciende rodando por un plano inclinado, su centro se mueve más lentamente que si se deslizara por él, ya que parte de la energía potencial se trasforma en energía cinética de rotación, con lo que el aumento de energía cinética de traslación es menor.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ecuaciones_de_la_din%C3%A1mica_del_s%C3%B3lido_r%C3%ADgido"

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