Cuatro conductores paralelos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:21 16 sep 2014

1 Enunciado

Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado $L=20\,\mathrm{cm}$ de lado y grosor $b=1\,\mathrm{cm}$ . Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio $3 a$ ; entre el 2º y el 3º hay $2 a$ y entre el 3º y el 4º hay $a$ , siendo $a=1\,\mathrm{mm}$ . El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad $\varepsilon=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ .

El conductor 1 y el 4 se encuentran permanentemente a tierra.

Inicialmente el interruptor se encuentra en la posición A, de forma que el conductor 2 se encuentra a un potencial $V_0=125\,\mathrm{V}$ $, mientras que el 3 está aislado y descargado.

Calcule el potencial del conductor 3, así como las cargas netas en cada uno de los cuatro conductores.
Halle el campo eléctrico en cada uno de los espacios entre conductores, y las cargas almacenadas en cada una de las superficies conductoras
Suponga que bruscamente se pasa el interruptor de la posición A a la B, conectando los conductores 2 y 3, ¿cómo quedan en ese caso las cargas y potenciales de los diferentes conductores, así como las cargas de cada una de las superficies?
Halle la energía almacenada en el sistema antes y después de mover el interruptor.

¿Cuánta energía se disipa en el proceso?, ¿cómo puede haber desaparecido esta energía?

2 Potenciales y cargas iniciales

La forma más sencilla de resolver este problema es mediante un circuito equivalente.

Para construir este circuito sustituimos cada conductor por un nodo. Cada par de placas enfrentadas forma un condensador plano, de capacidad

$C=\frac{\varepsilon S}{d}$

siendo

$S=L^2 =(0.2\,\mathrm{m})^2 = 0.04\,\mathrm{m}^2$

la sección de las placas y $d$ la distancia entre placas, que es distinta en cada caso. Las capacidades de los tres condensadores son

a. Entre el conductor 1 y el 2

$C_a=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.003\,\mathrm{m}}=400\,\mathrm{pF}$

b. Entre el 2 y el 3

$C_b=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.002\,\mathrm{m}}=600\,\mathrm{pF}$

c. Entre el 3 y el 4

$C_c=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.001\,\mathrm{m}}=1200\,\mathrm{pF}$

El circuito equivalente al sistema sería entonces el siguiente:

A partir de este circuito podemos construir un sistema de ecuaciones cuya solución nos de las cargas y potenciales que desconocemos, a partir de los datos que sí tenemos

$V_1=V_4=0\,\mathrm{V}\qquad V_2=125\,\mathrm{V}\qquad Q_3=0\,\mathrm{nC}$

La carga de cada conductor equivale a la suma de las de las placas conectadas al nodo correspondiente. Por tanto

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\ Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\ Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)+C_c(V_3-V_4) \\ Q_4 & = & C_c(V_4-V_3) \end{array}$

Sustituimos los datos y los valores de las capacidades y queda el sistema (con la carga en nC y el potencial en V)

$\begin{array}{rcl} Q_1 & = & 0.4(0-125)= -50 \\ Q_2 & = & 0.4(125-0) + 0.6(125-V_3) = 125-0.6V_3\\ 0 & = & 0.6(V_3-125)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-75 \\ Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3 \end{array}$

e aquí es inmediato el valor de $Q 1$

$Q_1=-50\,\mathrm{nC}$

y el de $V 3$

$V_3=\frac{75}{1.8}\,\mathrm{V}=41.7\,\mathrm{V}$

Conocido este dato hallamos $Q 4$

$Q_4 = -1.2\times 41.7\,\mathrm{nC}=-50\,\mathrm{nC}$

y $Q 2$

$Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}$ 1.7\,\mathrm{V}</math></center>

Tabulamos todos los resultados

Conductor	$Q$ (nC)	$V$ (V)
1	-50	0
2	100	125
3	0	41.7
4	-50	0

Una forma alternativa de llegar a este resultado es reduciendo el circuito equivalente. Sin cambiar las conexiones, podemos dibujarlo como

Dado que el conductor 3 está descargado, los condensadores b y c están en serie, cumpliendo su capacidad equivalente

$\frac{1}{C_{bc}}=\frac{1}{C_b}+\frac{1}{C_c}=\frac{1}{600\,\mathrm{pF}}+\frac{1}{1200\,\mathrm{pF}}=\frac{1}{400\,\mathrm{pF}}\qquad\Rightarrow\qquad C_{bc}=400\,\mathrm{pF}$

Este condensador está en paralelo con el a, siendo la capacidad equivalente de la asociación completa

$C_{abc}=C_a+C_{bc}=800\,\mathrm{pF}$

Esto nos da la carga del conductor 2, que corresponde a la placa positiva de este conductor equivalente

$Q_2=C_{abc}(V_2-0) = 800\,\mathrm{pF}\times 125\,\mathrm{V}=100\,\mathrm{nC}$

El conductor 1 corresponde a la placa negativa del condensador a, por lo que tiene una carga

$Q_1=C_a(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}$

Análogamente, el conductar 4 es la placa negativa del condensador bc

$Q_4=C_{bc}(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}$

Ya tenemos la carga de los cuatro conductores y el potencial de tres de ellos. Queda hallar el potencial del conductor 3. Éste lo sacamos de que este conductor es la placa positiva del condensador c

No se pudo entender (Falta el ejecutable de <strong>texvc</strong>. Por favor, lea <em>math/README</em> para configurarlo.): Q_4=C_c(V_4-V_3) \qquad\Rightarrow\qquad -50\,\mathrm{nC}=1200\,\mathrm{pF}(0-V_3)\qquad\Rightarrow\qquad V_3 = 4 ==Campo y cargas en cada superficie== ===Cargas de cada superficie=== ==Estado tras la conexión== {| class="bordeado" |- ! Conductor ! <math>Q

(nC)

! $V$ (V) |- | 1 | -75 | 0 |- | 2 | 75 | 62.5 |- | 3 | 25 | 62.5 |- | 4 | -25 | 0 |}

3 Balance energético

Antes de la conexión

<center> $U_{\mathrm{e}i}=6.25\,\mu\mathrm{J}$

Después de la conexión

$U_{\mathrm{e}f}=3.125\,\mu\mathrm{J}$

Energía disipada

$\Delta U = -3.125\,\mu\mathrm{J}$

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
-Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado <math>L=20\,\mathrm{cm}</math> de lado y grosor <math>b=1\,\mathrm{cm}</math>. Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio <math>3a</math>; entre el 2&ordm; y el 3&ordm; hay <math>2a</math> y entre el 3\tss{o} y el 4&ordm; hay <math>a</math>, siendo <math>a=1\,\mathrm{mm}</math>. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad <math>\varepsilon=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}</math>.
+Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado <math>L=20\,\mathrm{cm}</math> de lado y grosor <math>b=1\,\mathrm{cm}</math>. Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio <math>3a</math>; entre el 2&ordm; y el 3&ordm; hay <math>2a</math> y entre el 3&ordm; y el 4&ordm; hay <math>a</math>, siendo <math>a=1\,\mathrm{mm}</math>. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad <math>\varepsilon=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}</math>.
 El conductor 1 y el 4 se encuentran permanentemente a tierra.
@@ Línea 26: / Línea 26: @@
 la sección de las placas y <math>d</math> la distancia entre placas, que es distinta en cada caso. Las capacidades de los tres condensadores son
-;Entre el conductor 1 y el 2:
+;a. Entre el conductor 1 y el 2:
 <center><math>C_a=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.003\,\mathrm{m}}=400\,\mathrm{pF}</math></center>
-;Entre el 2 y el 3:
+;b. Entre el 2 y el 3:
 <center><math>C_b=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.002\,\mathrm{m}}=600\,\mathrm{pF}</math></center>
-;Entre el 3 y el 4:
+;c. Entre el 3 y el 4:
 <center><math>C_c=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.001\,\mathrm{m}}=1200\,\mathrm{pF}</math></center>
@@ Línea 39: / Línea 39: @@
 <center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-01.png]]</center>
-O, puesto de otra manera equivalente
+A partir de este circuito podemos construir un sistema de ecuaciones cuya solución nos de las cargas y potenciales que desconocemos, a partir de los datos que sí tenemos
-<center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-02.png]]</center>
+<center><math>V_1=V_4=0\,\mathrm{V}\qquad V_2=125\,\mathrm{V}\qquad Q_3=0\,\mathrm{nC}</math></center>
-Dado que el conductor 3 está descargado, los condensadores b y c están en serie, cumpliendo su capacidad equivalente
+La carga de cada conductor equivale a la suma de las de las placas conectadas al nodo correspondiente. Por tanto
-<center><math>\frac{1}{C_{bc}}=\frac{1}{C_b}+\frac{1}{C_c}=\frac{1}{600\,\mathrm{pF}}+\frac{1}{1200\,\mathrm{pF}}=\frac{1}{400\,\mathrm{pF}}\qquad\Rightarrow\qquad C_{bc}=400\,\mathrm{pF}</math></center>
+<center><math>\begin{array}{rcl}
+Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
+Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\
+Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)+C_c(V_3-V_4) \\
+Q_4 & = & C_c(V_4-V_3)
+\end{array}</math></center>
-Este condensador está en paralelo con el a, siendo la capacidad equivalente de la asociación completa
+Sustituimos los datos y los valores de las capacidades y queda el sistema (con la carga en nC y el potencial en V)
-<center><math>C_{abc}=C_a+C_{bc}=800\,\mathrm{pF}</math></center>
+<center><math>\begin{array}{rcl}
+Q_1 & = & 0.4(0-125)= -50 \\
+Q_2 & = & 0.4(125-0) + 0.6(125-V_3) = 125-0.6V_3\\
+& = & 0.6(V_3-125)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-75 \\
+Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3
+\end{array}</math></center>
-Esto nos da la carga del conductor 2, que corresponde a la placa positiva de este conductor equivalente
+e aquí es inmediato el valor de <math>Q_1</math>
-<center><math>Q_2=C_{abc}(V_2-0) = 800\,\mathrm{pF}\times 125\,\mathrm{V}=100\,\mathrm{nC}</math></center>
+<center><math>Q_1=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
-El conductor 1 corresponde a la placa negativa del condensador a, por lo que tiene una carga
+y el de <math>V_3</math>
-<center><math>Q_1=C_a(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
+<center><math>V_3=\frac{75}{1.8}\,\mathrm{V}=41.7\,\mathrm{V}</math></center>
-Análogamente, el conductar 4 es la placa negativa del condensador bc
+Conocido este dato hallamos <math>Q_4</math>
-<center><math>Q_4=C_{bc}(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
+<center><math>Q_4 = -1.2\times 41.7\,\mathrm{nC}=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
-Ya tenemos la carga de los cuatro conductores y el potencial de tres de ellos. Queda hallar el potencial del conductor 3. Éste lo sacamos de que este conductor es la placa positiva del condensador c
+y <math>Q_2</math>
-<center><math>Q_4=C_c(V_4-V_3) \qquad\Rightarrow\qquad -50\,\mathrm{nC}=1200\,\mathrm{pF}(0-V_3)\qquad\Rightarrow\qquad V_3 = 41.7\,\mathrm{V}</math></center>
+<center><math>Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}</math></center>1.7\,\mathrm{V}</math></center>
 Tabulamos todos los resultados
@@ Línea 92: / Línea 102: @@
 |}
-Una forma alternativa de llegar a este resultado es resolviendo un sistema de ecuaciones. La carga de cada conductor equivale a la suma de las de las placas conectadas al nodo correspondiente. Por tanto
+Una forma alternativa de llegar a este resultado es reduciendo el circuito equivalente.
+Sin cambiar las conexiones, podemos dibujarlo como
-<center><math>\begin{array}{rcl}
+<center>[[Archivo:circuito-cuatro-bloques-02.png]]</center>
-Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\
-Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\
-Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)+C_c(V_3-V_4) \\
-Q_4 & = & C_c(V_4-V_3)
-\end{array}</math></center>
-Sustituimos los datos
+Dado que el conductor 3 está descargado, los condensadores b y c están en serie, cumpliendo su capacidad equivalente
-<center><math>V_1=V_4=0\,\mathrm{V}\qquad V_2=125\,\mathrm{V}\qquad Q_3=0\,\mathrm{nC}</math></center>
+<center><math>\frac{1}{C_{bc}}=\frac{1}{C_b}+\frac{1}{C_c}=\frac{1}{600\,\mathrm{pF}}+\frac{1}{1200\,\mathrm{pF}}=\frac{1}{400\,\mathrm{pF}}\qquad\Rightarrow\qquad C_{bc}=400\,\mathrm{pF}</math></center>
-y los valores de las capacidades
+Este condensador está en paralelo con el a, siendo la capacidad equivalente de la asociación completa
-<center><math>C_a=400\,\mathrm{pF}\qquad C_b = 600\,\mathrm{pF}\qquad C_c = 1200\,\mathrm{pF}</math></center>
+<center><math>C_{abc}=C_a+C_{bc}=800\,\mathrm{pF}</math></center>
-y queda el sistema (con la carga en nC y el potencial en V)
+Esto nos da la carga del conductor 2, que corresponde a la placa positiva de este conductor equivalente
-<center><math>\begin{array}{rcl}
+<center><math>Q_2=C_{abc}(V_2-0) = 800\,\mathrm{pF}\times 125\,\mathrm{V}=100\,\mathrm{nC}</math></center>
-Q_1 & = & 0.4(0-125)= -50 \\
-Q_2 & = & 0.4(125-0) + 0.6(125-V_3) = 125-0.6V_3\\
-& = & 0.6(V_3-125)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-75 \\
-Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3
-\end{array}</math></center>
-De aquí es inmediato el valor de <math>Q_1</math>
+El conductor 1 corresponde a la placa negativa del condensador a, por lo que tiene una carga
-<center><math>Q_1=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
+<center><math>Q_1=C_a(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
-y el de <math>V_3</math>
+Análogamente, el conductar 4 es la placa negativa del condensador bc
-<center><math>V_3=\frac{75}{1.8}\,\mathrm{V}=41.7\,\mathrm{V}</math></center>
+<center><math>Q_4=C_{bc}(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
-Conocido este dato hallamos <math>Q_4</math>
+Ya tenemos la carga de los cuatro conductores y el potencial de tres de ellos. Queda hallar el potencial del conductor 3. Éste lo sacamos de que este conductor es la placa positiva del condensador c
-<center><math>Q_4 = -1.2\times 41.7\,\mathrm{nC}=-50\,\mathrm{nC}</math></center>
-y <math>Q_2</math>
-<center><math>Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}</math></center>
+<center><math>Q_4=C_c(V_4-V_3) \qquad\Rightarrow\qquad -50\,\mathrm{nC}=1200\,\mathrm{pF}(0-V_3)\qquad\Rightarrow\qquad V_3 = 4
 ==Campo y cargas en cada superficie==
+===Cargas de cada superficie===

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1 Enunciado

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