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Cuatro conductores paralelos

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
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<center><math>Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}</math></center>
<center><math>Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}</math></center>
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==Campo y cargas en cada superficie==
==Campo y cargas en cada superficie==

Revisión de 22:58 15 sep 2014

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de conductores en forma de bloques prismáticos cuadrados de lado L=20\,\mathrm{cm} de lado y grosor b=1\,\mathrm{cm}. Estos bloques se sitúan paralelamente de forma que entre el primero y el segundo hay un espacio 3a; entre el 2º y el 3º hay 2a y entre el 3\tss{o} y el 4º hay a, siendo a=1\,\mathrm{mm}. El espacio entre los conductores está lleno de un dieléctrico ideal de permitividad \varepsilon=30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}.

El conductor 1 y el 4 se encuentran permanentemente a tierra.

Archivo:fuente-cuatro-bloques.png

Inicialmente el interruptor se encuentra en la posición A, de forma que el conductor 2 se encuentra a un potencial V_0=125\,\mathrm{V}$, mientras que el 3 está aislado y descargado.

  1. Calcule el potencial del conductor 3, así como las cargas netas en cada uno de los cuatro conductores.
  2. Halle el campo eléctrico en cada uno de los espacios entre conductores, y las cargas almacenadas en cada una de las superficies conductoras
  3. Suponga que bruscamente se pasa el interruptor de la posición A a la B, conectando los conductores 2 y 3, ¿cómo quedan en ese caso las cargas y potenciales de los diferentes conductores, así como las cargas de cada una de las superficies?
  4. Halle la energía almacenada en el sistema antes y después de mover el interruptor.

¿Cuánta energía se disipa en el proceso?, ¿cómo puede haber desaparecido esta energía?

2 Potenciales y cargas iniciales

La forma más sencilla de resolver este problema es mediante un circuito equivalente.

Para construir este circuito sustituimos cada conductor por un nodo. Cada par de placas enfrentadas forma un condensador plano, de capacidad

C=\frac{\varepsilon S}{d}

siendo

S=L^2 =(0.2\,\mathrm{m})^2 = 0.04\,\mathrm{m}^2

la sección de las placas y d la distancia entre placas, que es distinta en cada caso. Las capacidades de los tres condensadores son

Entre el conductor 1 y el 2
C_a=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.003\,\mathrm{m}}=400\,\mathrm{pF}
Entre el 2 y el 3
C_b=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.002\,\mathrm{m}}=600\,\mathrm{pF}
Entre el 3 y el 4
C_c=\frac{(30\,\mathrm{pF}/\mathrm{m})(0.04\,\mathrm{m}^2)}{0.001\,\mathrm{m}}=1200\,\mathrm{pF}

El circuito equivalente al sistema sería entonces el siguiente:

Archivo:circuito-cuatro-bloques-01.png

O, puesto de otra manera equivalente

Archivo:circuito-cuatro-bloques-02.png

Dado que el conductor 3 está descargado, los condensadores b y c están en serie, cumpliendo su capacidad equivalente

\frac{1}{C_{bc}}=\frac{1}{C_b}+\frac{1}{C_c}=\frac{1}{600\,\mathrm{pF}}+\frac{1}{1200\,\mathrm{pF}}=\frac{1}{400\,\mathrm{pF}}\qquad\Rightarrow\qquad C_{bc}=400\,\mathrm{pF}

Este condensador está en paralelo con el a, siendo la capacidad equivalente de la asociación completa

C_{abc}=C_a+C_{bc}=800\,\mathrm{pF}

Esto nos da la carga del conductor 2, que corresponde a la placa positiva de este conductor equivalente

Q_2=C_{abc}(V_2-0) = 800\,\mathrm{pF}\times 125\,\mathrm{V}=100\,\mathrm{nC}

El conductor 1 corresponde a la placa negativa del condensador a, por lo que tiene una carga

Q_1=C_a(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}

Análogamente, el conductar 4 es la placa negativa del condensador bc

Q_4=C_{bc}(0-V_0) = 400\,\mathrm{pF}(-125\,\mathrm{V})=-50\,\mathrm{nC}

Ya tenemos la carga de los cuatro conductores y el potencial de tres de ellos. Queda hallar el potencial del conductor 3. Éste lo sacamos de que este conductor es la placa positiva del condensador c

Q_4=C_c(V_4-V_3) \qquad\Rightarrow\qquad -50\,\mathrm{nC}=1200\,\mathrm{pF}(0-V_3)\qquad\Rightarrow\qquad V_3 = 41.7\,\mathrm{V}

Tabulamos todos los resultados

Conductor Q (nC) V (V)
1 -50 0
2 100 125
3 0 41.7
4 -50 0

Una forma alternativa de llegar a este resultado es resolviendo un sistema de ecuaciones. La carga de cada conductor equivale a la suma de las de las placas conectadas al nodo correspondiente. Por tanto

\begin{array}{rcl} Q_1 & = & C_a(V_1-V_2) \\ Q_2 & = & C_a(V_2-V_1) + C_b(V_2-V_3) \\ Q_3 & = & C_b(V_3-V_2)+C_c(V_3-V_4) \\ Q_4 & = & C_c(V_4-V_3) \end{array}

Sustituimos los datos

V_1=V_4=0\,\mathrm{V}\qquad V_2=125\,\mathrm{V}\qquad Q_3=0\,\mathrm{nC}

y los valores de las capacidades

C_a=400\,\mathrm{pF}\qquad C_b = 600\,\mathrm{pF}\qquad C_c = 1200\,\mathrm{pF}

y queda el sistema (con la carga en nC y el potencial en V)

\begin{array}{rcl} Q_1 & = & 0.4(0-125)= -50 \\ Q_2 & = & 0.4(125-0) + 0.6(125-V_3) = 125-0.6V_3\\ 0 & = & 0.6(V_3-125)+1.2(V_3-0)= 1.8V_3-75 \\ Q_4 & = & 1.2(0-V_3)=-1.2V_3 \end{array}

De aquí es inmediato el valor de Q1

Q_1=-50\,\mathrm{nC}
y el de
V3
V_3=\frac{75}{1.8}\,\mathrm{V}=41.7\,\mathrm{V}

Conocido este dato hallamos Q4

Q_4 = -1.2\times 41.7\,\mathrm{nC}=-50\,\mathrm{nC}

y Q2

Q_2= 125-0.6\times 41.7 = 100\,\mathrm{nC}

3 Campo y cargas en cada superficie

4 Estado tras la conexión

Conductor Q (nC) V (V)
1 -75 0
2 75 62.5
3 25 62.5
4 -25 0

5 Balance energético

Antes de la conexión
U_{\mathrm{e}i}=6.25\,\mu\mathrm{J}
Después de la conexión
U_{\mathrm{e}f}=3.125\,\mu\mathrm{J}
Energía disipada
\Delta U = -3.125\,\mu\mathrm{J}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Cuatro_conductores_paralelos"

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