Ley de Gauss (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:54 11 abr 2014

Contenido

1 Flujo de un campo vectorial
2 Ley de Gauss
- 2.1 Prueba de la ley de Gauss
3 Campo de cargas puntuales
- 3.1 Ley de Coulomb
4 Aplicaciones de la ley de Gauss

1 Flujo de un campo vectorial

Un concepto básico en electromagnetismo y en mecánica de fluidos es el de flujo. La idea es sencilla: el flujo de un campo vectorial es una medida de “cuánto campo” atraviesa una superficie cerrada.

Para definir con precisión lo que se entiende por “cuánto campo”, consideremos en primer lugar el ejemplo sencillo de una tubería por la que fluye agua de manera constante. Queremos saber cuánta agua sale por una boca que es un corte transversal de la tubería En este caso el caudal, la cantidad de agua que pasa por segundo, es igual a

$\Phi = v S\,$

La cantidad de agua es mayor cuanto más rápido se mueva el agua y cuando mayor sea la sección de la tubería.

Supongamos ahora que la boca de la tubería no es transversal sino oblicua. No podemos seguir usando la expresión anterior, ya que ahora la sección tiene mayor área, pero la cantidad de agua que sale por la boca del tubo debería ser la misma que antes. La corrección que hay que hacer viene de que el vector velocidad puede descomponerse en dos partes, una perpendicular a la superficie y una tangencial a ella. Sólo la componente normal atraviesa la superficie. La tangencial “resbala” sobre ella. Por tanto, debemos escribir el flujo como

$\Phi = v_n\,S$

En forma vectorial, si $\vec{n}$ es el vector perpendicular a la superficie plana de la sección

$v_n = \vec{v}\cdot\vec{n}\qquad\Rightarrow\qquad \Phi = \vec{v}\cdot\vec{n}S = \vec{v}\cdot\vec{S}$

donde hemos definido el vector superficie como aquél que tiene por módulo el área de la superficie y como dirección y sentido los de un vector unitario normal a ésta.

$\vec{S}=S\vec{n}$

La siguiente generalización consiste en suponer que la velocidad no tiene una distribución uniforme, sino que varía de un punto a otro y que la superficie sobre la que hallamos el flujo no es un plano sino que puede ser curvada. En ese caso, lo que se hace es descomponer la superficie en trocitos muy pequeños (elementos de superficie), para cada uno de los cuales se aplica la fórmula anterior

$\mathrm{d}\Phi = \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\qquad\qquad \mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{n}$

y el flujo total será la suma (integral) para toda la superficie.

$\Phi = \int_S \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

Como caso particular importante tenemos el de una superficie cerrada

$\oint \vec{v}\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

donde el círculo en la integral representa que la superficie es cerrada. En el caso de una superficie cerrada, se considera siempre el sentido de la normal hacia el exterior de la superficie.

Para el caso de la superficie cerrada, si $Φ > 0$ quiere decir que el campo sale, en promedio hacia afuera de la superficie. Se dice entonces que el campo posee manantiales en el volumen encerrado por la superficie (de los cuales “brota” el campo). Si $Φ < 0$ queiere decir que el campo, en promedio, va hacia adentro. En ese caso se dice que el campo tiene sumideros (en los que se “destruye” el campo).

Geométricamente, el flujo de un campo a través de una superficie cerrada se puede representar como el número de líneas de campo que atraviesan dicha superficie.

2 Ley de Gauss

Una propiedad del campo eléctrico que se desprende del trazado de sus líneas de campo es la siguiente.

Consideremos, por ejemplo, el caso de cuatro cargas ilustrado anteriormente

Si tomamos la superficie cerrada $S 1$ , vemos que no encierra carga alguna, y que en ella hay tantas líneas de campo que entran como las que salen.
En la superficie $S 2$ , que envuelve a la carga positiva, las líneas de campo atraviesan la superficie hacia el exterior. Se dice que en esta región el campo es divergente.
En $S 3$ , en cambio, se envuelve una carga negativa y en ella el campo es convergente, atravesando las líneas de campo la superficie hacia adentro.
En $S 4$ se envuelve una carga neta 0, y vemos que en ella también hay tantas líneas que entran como que salen.

Vemos que el hecho de que las líneas atraviesen la superficie hacia afuera o hacia adentro depende de las cargas que haya en el interior, y que si es nula (bien porque no hay nada, bien porque hay tantas positivas como negativas) hay tantas que entran como que salen.

Este es un resultado general. Matemáticamente se expresa con el concepto de flujo que es una medida de cuánto campo atraviesa una superficie. La ley física que describe este fenómeno es la ley de Gauss

Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada por la superficie.

$\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}$

Analizando cada uno de los términos de esta ecuación tenemos:

$\oint_S$: El símbolo de integral con un círculo representa la integración sobre una superficie cerrada.
$\vec{E}$: El campo eléctrico en los puntos de la superficie. Este campo será en general función de la posición, por lo que no puede extraerse de la integral.
$\cdot$: El campo eléctrico es un vector y el diferencial de superficie también lo es. El flujo en cambio, es un número con signo. El producto escalar nos garantiza el carácter escalar del resultado.; $\mathrm{d}\vec{S}$ : Cuando se integra sobre una superficie, se divide ésta en elementos de área $d S$ . Se define el vector diferencial de superficie como uno que tiene por módulo el área del elemento, por dirección la perpendicular a la superficie y por sentido el que va hacia el exterior

$\mathrm{d}\vec{S}=\vec{n}\,\mathrm{d}S$

(¡ojo a la diferencia entre $\mathrm{d}S\,$ y $\mathrm{d}\vec{S}$ !).

$Q int$

es la carga encerrada por la superficie. Ojo que no es toda la carga del sistema. Puede haber cargas en el exterior, que producen campo en la superficie (por ejemplo, las cuatro cargas respecto de la

S 1

anterior), pero que no están encerradas por ella. Aquí:

Si la carga neta encerrada es positiva: El flujo neto es hacia el exterior y el campo es divergente (caso de la superficie $S 2$ ). Esto no excluye que pueda contener cargas negativas y que haya algunas líneas de campo hacia adentro, como en la superficie $S 5$ .

Si la carga neta encerrada es negativa: El flujo neto es hacia el interior y el campo es convergente (caso de $S 3$ ).
Si la carga neta encerrada es cero: El flujo es nulo y hay tanto campo quye entra como que sale. Es importante recordar que un flujo nulo no implica un campo nulo

$\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0\qquad\not\Rightarrow\qquad\vec{E}=\vec{0}$

$\varepsilon_0$: La constante de proporcionalidad es una constante universal denominada permitividad del vacío, que tiene un valor exacto

$\varepsilon_0=\frac{10^7}{359502071494727056\pi}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}\simeq 8.854\times 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2} = 8.854\,\frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}$

Aunque se suele aproximar en la forma más sencilla

$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = k_e\simeq 9\times 10^9\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$

2.1 Prueba de la ley de Gauss

La ley de Gauss puede demostrarse para el caso electrostático a partir de la ley de Coulomb y el principio de superposición. No obstante, su demostración requiere técnicas algo más avanzadas que las que aquí se exponen, por lo que solo daremos las ideas principales.

Partimos del campo eléctrico de una carga puntual

$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q\vec{u}_r}{r^2}$

Si consideramos el flujo de este campo eléctrico a través de una superficie esférica concéntrica con la carga tenemos

$\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{r=\mathrm{cte}} \frac{\vec{u}_r\cdot\mathrm{d}\vec{S}}{r^2}$

Ahora bien, para una superficie esférica, el diferencial de superficie es un vector radial y hacia afuera

$\mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{u}_r\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}\vec{S}\cdot\vec{u}_r=\mathrm{d}S$

por lo que la integral se reduce a una escalar

$\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\oint_{r=\mathrm{cte}} \frac{\mathrm{d}S}{r^2}$

Por otra parte, al tratarse de una superficie esférica, r es el mismo para todos los puntos de la esfera, por lo que puede salir de esta integral y quedar

$\Phi = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 ^2}\oint_{r=\mathrm{cte}} \mathrm{d}S=\frac{qS}{4\pi\varepsilon_0r^2}$

Si sustituimos el área de la esfera

$S=4\pi r^2\qquad\Rightarrow\qquad\Phi =\frac{q}{\varepsilon_0}$

Es decir, resulta que para una superficie esférica concéntrica con la carga el flujo es el mismo independientemente del radio de la esfera. A medida que nos alejamos de la carga, el campo decrece como la inversa del cuadrado de la distancia, pero el área de la esfera crece como el cuadrado de la misma distancia, por lo que los dos factores se cancelan.

Podemos preguntarnos qué propiedades del campo eléctrico son las mismas independientemente de la distancia a la carga. Una es la magnitud de la carga que lo crea. Otra es el número de líneas de campo que atraviesan la superficie, que e slo que mide el flujo. Hemos obtenido que ambas cantidades son proporcionales.

El resultado se extiende ahora a otras superficies que no son esferas concéntricas. Puede demostrarse que el resultado es el mismo: para toda superficie cerrada S que envuelva a la carga

$\Phi = \frac{q}{\varepsilon_0}\qquad\qquad (q\in S)$

Este resultado también vale si la carga es negativa. En ese caso, las líneas van hacia adentro y el flujo es negativo.

Por otro lado, si tomamos una superficie que no envuelva a la carga, el número de líneas de campo que atraviesan la superficie hacia adentro iguala al de las que lo hacen hacia afuera, por lo que

$\Phi = 0\qquad\qquad (q\not\in S)$

Esto para una carga individual. Si consideramos una distribución de cargas, aplicamos el principio de superposición

$\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\cdots = \sum_i\vec{E}_i$

Este principio también se aplica al flujo del campo eléctrico

$\Phi = \oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\sum_i \oint \vec{E}_i\cdot\mathrm{d}\vec{S}$

Para los flujos de las cargas individuales habrá cargas que están contenidas dentro de la superficie y cargas que estarán fuera, por lo que

$\Phi = \sum_{q_i\in S}\frac{q_i}{\varepsilon_0}+\sum_{q_i\not\in S}0=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}$

siendo

$Q_\mathrm{int}=\sum_{q_i\in S}q_i$

la carga neta encerrada dentro de la superficie.

3 Campo de cargas puntuales

Una de las primeras aplicaciones de la ley de Gauss es la obtención del campo eléctrico creado por una carga puntual.

Por la simetría del sistema, el campo creado por una carga va a ser central

$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\vec{u}_r$

siendo $r$ la distancia a la carga, $\vec{r}$ el vector de posición respecto a la carga y $\vec{u}_r$ el unitario en la dirección radial.

De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo a través de cualquier superficie cerrada que envuelva a esta carga será el mismo. Si consideramos superficies esféricas concéntricas de radio cada vez más grande, el área de cada una crece como el cuadrado del radio, pero el flujo no cambia. Por tanto, el campo eléctrico de una carga puntual debe decaer como el cuadrado de la distancia a la carga.

Matemáticamente

$\mathrm{d}\vec{S}=\vec{u}_r\,\mathrm{d}S\qquad\qquad \frac{q}{\varepsilon_0}=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S$

y puesto que $E (r)$ tiene el mismo valor para todos los puntos de la superficie esférica puede salir de la integral y queda

$\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S = E(r) S = 4\pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{q}{4\pi r^2}\vec{u}_r$

Más en general, si tenemos la carga en un cierto punto A, el campo que produce en un punto P es

$\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d_{AP}^2}\vec{u}_{AP}$

En función de los vectores de posición

$d_{AP}=|\vec{r}_P-\vec{r}_A|\qquad\qquad \vec{u}_{AP}=\frac{(\vec{r}_P-\vec{r}_A)}{|\vec{r}_P-\vec{r}_A|}\qquad\qquad \vec{E}_P=\frac{q(\vec{r}_P-\vec{r}_a)}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}_P-\vec{r}_A|^3}$

El campo eléctrico de una carga puntual tiene dirección radial desde la carga y un sentido que depende del signo de ésta. Hacia afuera si es positiva y hacia adentro si es negativa.

3.1 Ley de Coulomb

Una vez que tenemos el campo eléctrico creado por una carga puntual podemos calcular la fuerza que produce sobre otra carga. Si tenemos una carga $q 1$ en $\vec{r}_1$ y situamos una carga $q 2$ en el punto $\vec{r}_2$ , la fuerza que experimenta es el producto de la carga por el campo en la posición que se encuentra

$\vec{F}_{1\to 2}= q_2\vec{E}_1(\vec{r}_2) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_2q_1\vec{u}_{12}}{d_{12}^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_2q_1(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}$

siendo $\vec{u}_{12}$ el vector unitario en la dirección de la recta que pasa por las dos cargas y en el sentido de la carga 1 a la 2. Esta es la conocida como ley de Coulomb para fuerzas entre cargas puntuales.

Dado que la fuerza es proporcional a la carga $q 2$ , si tenemos una carga $q 1$ positiva, la fuerza sobre $q 2$ será de repulsión si $q 2$ es positiva y de atracción si es negativa, aunque en los dos casos el campo de $q 1$ vaya hacia afuera.

La fuerza que experimenta la carga 1 se debe a que percibe el campo de la carga 2

$\vec{F}_{2\to 1}= q_1\vec{E}_2(\vec{r}_1) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_1q_2\vec{u}_{21}}{d_{21}^2}$

Puesto que el producto de cargas es conmutativo, la distancia es la misma en los dos casos y el vector unitario tiene la misma dirección, pero sentido opuesto al anterior, se llega a que la ley de Coulomb cumple la tercera ley de Newton

$\vec{F}_{1\to 2} = -\vec{F}_{2\to 1}$

Asimismo obtenemos las propiedades:

Cargas del mismo signo se repelen y cargas de signo opuesto se atraen.
La fuerza entre cargas puntuales en reposo es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

La magnitud de la fuerza eléctrica es muy grande comparada con otras fuerzas de la naturaleza. Así, por ejemplo, para la fuerza entre un protón y un electrón (cargas $\pm e$ ) situados a una distancia $d$ tenemos

$F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{e^2}{d^2}$

La fuerza gravitatoria entre las dos partículas vale en módulo, de acuerdo con la ley de Gravitación Universal

$F_g = G\frac{m_pm_e}{d^2}$

La proporción entre las dos fuerzas es independiente de la distancia entre las partículas

$\frac{F_e}{F_g}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 G m_p m_p}$

Sustituyendo los valores de las cargas y masas del protón y del electrón y constantes queda

$\frac{F_e}{F_g}=2.27\times 10^{39}=2\,270\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$

Además, al ser esta proporción independiente de la distancia, quiere decir que la fuerza eléctrica entre un protón situado en la Tierra y un electrón situado en la Luna, tiene esta misma proporción respecto a la fuerza gravitatoria entre ellas. Podemos preguntarnos entonces, ¿por qué apreciamos entonces la fuerza gravitatoria? Es más ¿por qué los planetas y galaxias se mueven por fuerzas gravitatorias y no eléctricas?

La explicación está en el hecho de que hay dos signos de carga, pero solo una de masa. Esto quiere decir que el efecto de la gravedad es siempre acumulativo, cuanta más masa se reúne, mayor es la fuerza gravitatoria. Las cargas, en cambio, se cancelan mutuamente. La materia es esencialmente neutra, ya que hay tantas cargas positivas como negativas, por lo que la fuerza eléctrica sobre un objeto distante es prácticamente nula.

Para justificar esto, no obstante, debemos considerar el efecto de un conjunto de cargas.

4 Aplicaciones de la ley de Gauss

La ley de Guauss es siempre cierta, pero no siempre es útil. Nos proporciona el valor de la integral de un campo, pero no el valor del propio campo. Existen muchas funciones diferentes que tienen la misma integral definida. Por ello, en principio, no podemos extraer el campo de la integral y “despejarlo”.

La excepción la dan las situaciones con simetrías. Se dice que una distribución es siemétrica cuando efectuando un cambio en la posición no se percibe ningún cambio en la distribución. Así tenemos:

Simetría traslacional: es aquella en que el sistema es invariante ante un desplazamiento rectilíneo. Por ejemplo, imaginemos una línea cargada rectilínea y de longitud infinita (que modelaría un cable, por ejemplo). Si nos movemos paralelamente al cable no vemos ningún cambio. Se dice entonces que hay simetría traslacional. Si en vez de un cable infinito tenemos un segmento de longitud finita ya no es cierto, pues no es lo mismo estar junto a la mitad del cable que junto a un extremo o más allá.

Simetría rotacional: es aquella en que el sistema es invariante ante una rotación. Siguiendo con el ejemplo del cable, no apreciamos ningún cambio si rotamos en torno a él, manteniéndonos a la misma distancia.

Simetría esférica: corresponde a que haya simetría rotacional respecto a cualquier dirección. Una esfera cargadas uniformemente se ve igual se mire desde donde se mire.

En los casos de simetría esférica, el procedimiento de cálculo del campo eléctrico es el siguiente, desarrollado en un problema

Si la distribución de carga posee simetría esférica o de revolución, de manera que se ve igual desde todas las direcciones, el campo eléctrico que produce va en la dirección radial y depende solo de la distancia al centro de la distribución

$\vec{E}(\vec{r})=E(r)\vec{u}_r$

Este es el caso, por ejemplo, de una carga puntual. La cantidad $E (r)$ no es el módulo del campo, sino su componente radial, ya que tiene un signo que nos dice si va hacia afuera (caso de una carga positiva) o hacia adentro (caso de una carga negativa).

Hay que remarcar que no todas las distribuciones de carga en una esfera poseen simetría esférica. Por ejemplo, una esfera cargada positivamente en su hemisferio “norte” y negativamente en el “sur” no posee simetría esférica, ya que no todas las direcciones son equivalentes. No se ve lo mismo desde el norte que desde el sur o desde el ecuador.

Suponiendo que sí existe simetría esférica, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica puede hallarse explícitamente. Si toamos una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la distribución, el diferencial de superficie, ortogonal a ésta, va en la dirección radial

$\mathrm{d}\vec{S}=\mathrm{d}S\,\vec{u}_r$

Por ello, el flujo se reduce a una integral de un escalar

$\oint \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint (E(r)\vec{u}_r)\cdot(\mathrm{d}S\,\vec{u}_r)=\oint E(r)\mathrm{d}S$

Ahora bien, dado que la superficie de integración es una esfera, todos sus puntos se encuentran a la misma distancia del centro y por tanto, el valor de la componente radial del campo, $E (r)$ , tiene el mismo valor para todos ellos y puede extraerse de la integral

$\oint E(r)\mathrm{d}S = E(r)\oint \mathrm{d}S= 4\pi r^2 E(r)$

Hay que recordar que el campo no es el mismo para todos los puntos de la superficie esférica, ya que su dirección y sentido cambian de un punto a otro. Lo que es constante es el valor de su módulo.

Llevando esto a la ley de Gauss nos queda

$4\pi r^2 E = \frac{Q_\mathrm{int}(r)}{\varepsilon_0} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_\mathrm{int}(r)}{r^2}\vec{u}_r$

Por tanto, para los sistemas con simetría esférica (y solo para ellos) el campo para cada distancia del centro equivale al de una carga puntual cuyo valor es igual al de toda la carga contenida en el volumen $r' < r$ .

@@ Línea 90: / Línea 90: @@
 La ley de Gauss puede demostrarse para el caso electrostático a partir de la ley de Coulomb y el principio de superposición. No obstante, su demostración requiere técnicas algo más avanzadas que las que aquí se exponen, por lo que solo daremos las ideas principales.
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 Partimos del campo eléctrico de una carga puntual

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2 Ley de Gauss

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