Masa que cae sobre resorte

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 23:56 27 ene 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Compresión del resorte
3 Velocidad de impacto
4 Nueva altura máxima
5 Máxima compresión
6 Energía disipada
7 Máxima compresión en el caso inelástico

1 Enunciado

Se tiene una plataforma de masa $m_2=0.40\,\mathrm{kg}$ situada sobre un resorte de constante $k=1960\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ y longitud natural $l_0=10\,\mathrm{cm}$ .

Calcule cuánto se comprime el resorte debido al peso de la masa, en la posición de equilibrio.

Sobre esta plataforma se deja caer una masa $m_1= 0.10\,\mathrm{kg}$ , soltándola sin velocidad inicial desde una altura $h_0= 2.5\,\mathrm{m}$ sobre la plataforma

Calcule la velocidad que tiene la masa $m 1$ justo antes de impactar con la plataforma.

Si la colisión es perfectamente elástica,

Calcule la nueva altura que alcanza la masa $m 1$ tras la colisión.
Calcule cuánto es el máximo que se comprime el resorte por efecto del golpe en la plataforma.

Si la colisión, en vez de ser elástica, es completamente inelástica,

¿Cuánta energía se pierde en la colisión?
¿Cuánto se comprime como máximo el resorte tras la colisión?

Tómese $g=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2$ .

2 Compresión del resorte

Puesto que todas las fuerzas y velocidades van a ser verticales, el problema es unidimensional y podemos emplear cantidades escalares con signo. Consideraremos una velocidad y una fuerza como positivas cuando van hacia abajo y negativas si van hacia arriba.

La presencia de la masa comprime el muelle por acción de su peso. En el equilibrio se compensa la acción del peso con la fuerza recuperadora elástica:

$m_2g-k\,\Delta x=0$

lo que da la compresión del muelle

$\Delta x = \frac{m_2g}{k}$

Sustituyendo los valores numéricos

$\Delta x=\frac{0.40\times 9.8}{1960}\,\mathrm{m}=0.002\,\mathrm{m}=2.0\,\mathrm{mm}$

3 Velocidad de impacto

En la caída de la masa 1 se conserva la energía mecánica. En esta caída la energía potencial se transforma en cinética, cumpliéndose

$\frac{1}{2}m_1\overbrace{v_0^2}^{=0}+m_1gh_0=\frac{1}{2}mv_{1i}^2+mg\cdot 0$

de donde

$m_1gh_0=\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2\qquad\Rightarrow\qquad v_{1i}=\sqrt{2gh}$

siendo su valor numérico

$v_{1i}=\sqrt{2\times 9.8\times 2.5}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

4 Nueva altura máxima

Cuando la masa 1 impacta con la 2 tenemos una colisión elástica en la que se conserva la cantidad de movimiento

$m_1v_{1i}+m_2\cdot 0 = m_1v_{1f}+m_2v_{2f}\,$

y por ser elástica el coeficiente de restitución es la unidad

$1=C_R = -\frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{2i}-v_{1i}}\qquad\Rightarrow\qquad v_{2f}-v_{1f}=v_{1f}$

Esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución para la velocidad de la masa 1 justo tras el choque es

$v_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_{1i}=\frac{0.1-0.4}{0.1+0.4}7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La velocidad es negativa porque la masa rebota hacia arriba. La nueva altura máxima la hallamos aplicando de nuevo la ley de conservación de la energía mecánica

$\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 = m_1g h_f\qquad\Rightarrow\qquad h_f = \frac{v_{1f}^2}{2g}=\frac{4.2^2}{2\times 9.8}\mathrm{m}=0.90\,\mathrm{m}$

5 Máxima compresión

Tras la colisión, la plataforma adquiere también una cierta velocidad. Ésta se obtiene del sistema de ecuaciones del apartado anterior y el resultado es

$v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_{1i}=\frac{2\times 0.1}{0.1+0.4}\times 7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=2.8\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Esta velocidad inicial comprime el muelle. La máxima compresión se alcanza cuando toda la energía cinética se almacena como energía potencial elástica

$\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2 + \frac{1}{2}k\cdot 0^2 = \frac{1}{2}m_2\cdot 0^2 + \frac{1}{2}kA^2$

es decir

$\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2=\frac{1}{2}kA^2 \qquad \Rightarrow\qquad A = v_{2f}\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

siendo su valor

$A = 2.8\sqrt{\frac{0.4}{1960}}\,\mathrm{m}=0.04\,\mathrm{m}=4.0\,\mathrm{cm}$

6 Energía disipada

En el caso de la colisión completamente inelástica, el coeficiente de restitución es nulo. Esto implica que la masa 1 se funde con la 2. De la conservación de la cantidad de movimiento

$m_1v_{1i}+m_2\cdot 0 = (m_1+m_2)v_f\qquad\Rightarrow\qquad v_f = \frac{m_1}{m_1+m_2}v_{1f}=1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

La energía que se disipa en esta colisión es

$\Delta K = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_f^2 - \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2$

lo que da

$\Delta K = \left(\frac{1}{2}0.5\times 1.4^2-\frac{1}{2}0.1\times 7.0^2\right)\,\mathrm{J} = -1.96\,\mathrm{J}$

7 Máxima compresión en el caso inelástico

Cuando el muelle se comprime después de la colisión inelástica se aplica de nuevo la conservación de la energía mecánica, por lo que, operando igual que antes,

$A = v_f\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}} = 0.022\,\mathrm{m}=2.2\,\mathrm{cm}$

@@ Línea 90: / Línea 90: @@
 <center><math>m_1v_{1i}+m_2\cdot 0 = (m_1+m_2)v_f\qquad\Rightarrow\qquad v_f = \frac{m_1}{m_1+m_2}v_{1f}=1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+La energía que se disipa en esta colisión es
+<center><math>\Delta K = \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_f^2 - \frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 </math></center>
+lo que da
+<center><math>\Delta K = \left(\frac{1}{2}0.5\times 1.4^2-\frac{1}{2}0.1\times 7.0^2\right)\,\mathrm{J} = -1.96\,\mathrm{J}</math></center>
 ==Máxima compresión en el caso inelástico==
+Cuando el muelle se comprime después de la colisión inelástica se aplica de nuevo la conservación de la energía mecánica, por lo que, operando igual que antes,
+<center><math>A = v_f\sqrt{\frac{m_1+m_2}{k}} = 0.022\,\mathrm{m}=2.2\,\mathrm{cm}</math></center>
 [[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]]

Masa que cae sobre resorte

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1 Enunciado

2 Compresión del resorte

3 Velocidad de impacto

4 Nueva altura máxima

5 Máxima compresión

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