Movimiento circular en 3D
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
(→Identificación geométrica) |
(→Trayectoria) |
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Si separamos las tres componentes del movimiento | Si separamos las tres componentes del movimiento | ||
| - | <center><math>\vec{r}:\left\{\begin{array}{rcl} x & = & | + | <center><math>\vec{r}:\left\{\begin{array}{rcl} x & = &4C\cos(\Omega t) \\ y & = & 5C\,\mathrm{sen}(\Omega t)\\ z & = & 3C\cos(\Omega t)\end{array}\right.</math></center> |
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| + | De aquí es evidente que | ||
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| + | <center><math>z = \frac{3}{4}x\qquad\Rightarrow\qquad 3x-4z =0</math></center> | ||
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| + | Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como | ||
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| + | <center><math>\vec{B}\cdot\vec{r}=0\qquad\qquad \vec{B}=\frac{3}{5}\vec{\imath}-\frac{4}{5}\vec{\jmath}</math></center> | ||
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| + | El vector <math>\vec{B}</math> es un vector constante ortogonal al plano de movimiento. | ||
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| + | Además tenemos que se cumple | ||
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| + | <center><math>x^2 + z^2 = 25C^2\cos^2(\Omega t)\qquad\qquad y^2 = 25C^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)</math></center> | ||
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| + | y sumando estas dos | ||
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| + | <center><math>x^2 + y^2 + z^2 = 25C^2\,</math></center> | ||
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| + | que es la ecuación de una esfera de radio <math>R=5C</math>. | ||
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| + | la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular. | ||
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Revisión de 17:30 7 nov 2013
1 Enunciado
Una partícula se mueve según las ecuaciones horarias
con B y Ω constantes.
- ¿Qué trayectoria sigue la partícula?
- ¿Qué desplazamiento realiza y qué distancia recorre la partícula entre t=0 y t = π/Ω?
- ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
2 Trayectoria
Podemos identificar la trayectoria a partir de razonamientos puramente geométricos o empleando procedimientos cinemáticos.
2.1 Identificación geométrica
Si separamos las tres componentes del movimiento
De aquí es evidente que
Esta es la ecuación de un plano. También la podemos escribir en forma vectorial como
El vector 
es un vector constante ortogonal al plano de movimiento.
Además tenemos que se cumple
y sumando estas dos
que es la ecuación de una esfera de radio R = 5C.
la trayectoria es entonces la intersección de un plano y una esfera. Esa intersección es siempre una circunferencia. Por tanto el movimiento es circular.
