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Análisis de ecuación horaria

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Componentes intrínsecas de la aceleración)
Línea 52: Línea 52:
En <math>t=2\,\mathrm{s}</math> la velocidad, la rapidez y la aceleración valen
En <math>t=2\,\mathrm{s}</math> la velocidad, la rapidez y la aceleración valen
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<center><math>\vec{v}(2\,\mathrm{s})=(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}\qquad\qquad |\vec{v}| = 9\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}</math></center>
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<center><math>\vec{v}(2\,\mathrm{s})=(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad |\vec{v}| = 9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
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<center><math>\vec{a})(2\,\mathrm{s})=(2\vec{\imath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
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==Radio y centro de curvatura==
==Radio y centro de curvatura==
[[Categoría:Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIE)]]
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Revisión de 17:37 5 nov 2013

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve por el espacio de forma que su posición, en las unidades fundamentales del SI, viene dada por la ecuación horaria

\vec{r}=t^2\vec{\imath}+t\vec{\jmath}+\frac{2}{3}t^3\vec{k}
  1. Calcule el desplazamiento y la distancia que recorre la partícula entre t = 0 y t = 3 s.
  2. Halle las componentes intrínsecas de la aceleración en t = 2 s, como escalares y como vectores.
  3. Calcule el radio de curvatura en t = 2 s así como el centro de curvatura en ese instante.

2 Desplazamiento y distancia

2.1 Desplazamiento

El desplazamiento lo da la diferencia (vectorial) entre la posición final y la inicial

\Delta \vec{r}=\vec{r}(3\,\mathrm{s})-\vec{r}(1\,\mathrm{s})

Sustituyendo en la ecuación horaria

\vec{r}(1\,\mathrm{s})=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k})\,\mathrm{m}\qquad\qquad \vec{r}(3\,\mathrm{s})=(9\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+18\vec{k})\,\mathrm{m}

resulta el desplazamiento

\Delta \vec{r}=\left(7\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+\frac{52}{3}\vec{k}\right)\mathrm{m}

El módulo de este desplazamiento vale

\left|\Delta\vec{r}\right|=\frac{\sqrt{3316}}{3}\mathrm{m}=19.195\,\mathrm{m}

2.2 Distancia

Para hallar la distancia recorrida debemos calcular en primer lugar la rapidez, ya que

\Delta s = \int_{t_i}^{t_f}\left|\vec{v}\right|\mathrm{d}t

Calculamos en primer lugar la velocidad

\vec{v}=2t\vec{\imath}+\vec{\jmath}+2t^2\vec{k}

A partir de esta la rapidez

\left|\vec{v}\right| = \sqrt{4t^2+1+4t^4} = 2t^2+1

Integramos ésta entre el instante inicial y el final

\Delta s=\int_1^3 (2t^2+1)\mathrm{d}t=\left(\frac{2}{3}t^3+t\right|_1^3 = \frac{58}{3}\mathrm{m}=19.33\,\mathrm{m}

La distancia recorrida es superior al módulo del desplazamiento, ya que la trayectoria es una curva, mientras que el módulo del desplazamiento se mide en línea recta, que siempre es una distancia más corta.

3 Componentes intrínsecas de la aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración en cada instante

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=2\vec{\imath}+4t\vec{k}

En t=2\,\mathrm{s} la velocidad, la rapidez y la aceleración valen

\vec{v}(2\,\mathrm{s})=(4\vec{\imath}+\vec{\jmath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\qquad\qquad |\vec{v}| = 9\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}
\vec{a})(2\,\mathrm{s})=(2\vec{\imath}+8\vec{k})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

4 Radio y centro de curvatura

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/An%C3%A1lisis_de_ecuaci%C3%B3n_horaria"

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