Cálculo de circulación
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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==Solución== | ==Solución== | ||
===Cuadrado=== | ===Cuadrado=== | ||
| + | La circulación a lo largo del cuadrado se compone de cuatro tramos, que calculamos por separado: | ||
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| + | ====Primer Lado==== | ||
| + | Para el lado situado en <math>x=a</math>, <math>z=0</math>, | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{y}\mathbf{u}_{y}</math>{{tose}}<math>C_1 = \int_{-a}^a (a+y)\,\mathrm{d}{y} = 2a^2</math></center> | ||
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| + | ====Segundo lado==== | ||
| + | Para el situado en <math>y=a</math>, <math>z=0</math> | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{x}\mathbf{u}_{x}</math>{{tose}}<math>C_2 = \int_{a}^{-a} (x-a)\,\mathrm{d}{x} = 2a^2</math></center> | ||
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| + | Nótese que no hace falta cambiar el signo a <math>\mathrm{d}{\mathbf{r}}</math>, ya que el sentido de recorrido lo dan los límites de integración. | ||
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| + | ====Tercer lado==== | ||
| + | Para el lado situado en <math>x=-a</math>, <math>z=0</math>, | ||
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| + | <center><math>\mathbf{A} = (-a-y)\mathbf{u}_{x}+(-a+y)\mathbf{u}_{y}</math>{{qquad}}{{qquad}} | ||
| + | <math>\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{y}\mathbf{u}_{y}</math>{{tose}} | ||
| + | <math>C_3 = \int_{a}^{-a} (-a+y)\,\mathrm{d}{y} = 2a^2</math></center> | ||
| + | |||
| + | ====Cuarto lado==== | ||
| + | Para el situado en <math>y=-a</math>, <math>z=0</math> | ||
| + | |||
| + | <center><math>\mathbf{A} = (x+a)\mathbf{u}_{x}+(x-a)\mathbf{u}_{y}</math>{{qquad}}{{qquad}} | ||
| + | <math>\mathrm{d}{\mathbf{r}}=\mathrm{d}{x}\mathbf{u}_{x}</math>{{tose}} | ||
| + | <math>C_4 = \int_{-a}^{a} (x+a)\,\mathrm{d}{x} = 2a^2</math></center> | ||
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| + | ====Circulación==== | ||
| + | Sumando las cuatro contribuciones | ||
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| + | <math>C = 2a^2+2a^2+2a^2+2a^2 = 8a^2\,</math> | ||
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| + | ====Aplicación del teorema de Stokes==== | ||
| + | Empleando el teorema de Stokes tenemos | ||
| + | |||
| + | <center><math>\nabla\times\mathbf{A} = 2\mathbf{u}_{z}</math>{{qquad}}{{qquad}} | ||
| + | <math>\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}</math>{{tose}} | ||
| + | <math>C = \int_{-a}^a\int_{-a}^a 2\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y} = 8a^2</math></center> | ||
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===Circunferencia horizontal=== | ===Circunferencia horizontal=== | ||
===Circunferencia vertical=== | ===Circunferencia vertical=== | ||
[[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]] | [[Categoría:Problemas de fundamentos matemáticos]] | ||
Revisión de 08:25 3 oct 2008
Contenido |
1 Enunciado
Para el campo vectorial
calcule su circulación a lo largo de las siguientes curvas cerradas:
- Un cuadrado de lado 2a, con vértices
.
- Una circunferencia de radio R situada en el plano z = 0 y con centro el origen de coordenadas.
- Una circunferencia vertical, situada en el plano x = y y con centro el origen de coordenadas.
En cada caso, halle la circulación por integración directa y por aplicación del teorema de Stokes.
2 Solución
2.1 Cuadrado
La circulación a lo largo del cuadrado se compone de cuatro tramos, que calculamos por separado:
2.1.1 Primer Lado
Para el lado situado en x = a, z = 0,
2.1.2 Segundo lado
Para el situado en y = a, z = 0
Nótese que no hace falta cambiar el signo a 
, ya que el sentido de recorrido lo dan los límites de integración.
2.1.3 Tercer lado
Para el lado situado en x = − a, z = 0,
2.1.4 Cuarto lado
Para el situado en y = − a, z = 0
2.1.5 Circulación
Sumando las cuatro contribuciones
2.1.6 Aplicación del teorema de Stokes
Empleando el teorema de Stokes tenemos
