Cálculo de flujo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 16:03 1 oct 2008

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Para el campo vectorial

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}\,$

calcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

Un cubo de arista $a$ , con un vértice en el origen y aristas $a\mathbf{u}_{x}$ , $a\mathbf{u}_{y}$ y $a\mathbf{u}_{z}$ .
Un cilindro circular de altura $h$ y radio $R$ , con el eje $Z$ como eje y sus bases situadas en $z = 0$ y $z = h$ .
Una esfera de radio $R$ en torno al origen de coordenadas.

En cada caso, halle el flujo por integración directa y por aplicación del teorema de Gauss.

2 Solución

2.1 Superficie cúbica

Para el flujo a través de un cubo, descomponemos la integral en seis partes, una por cada cara.

2.1.1 Cara inferior

Para la cara inferior ( $z = 0$ ), el campo en estos puntos vale

$\mathbf{A}(z=0) = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}$

y el vector diferencial de superficie dirigido al exterior

$\mathrm{d}\mathbf{S} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}$

Al ser ortogonales estos dos vectores el flujo elemental vale

$\Phi_1 = \int \mathbf{A}{\cdot}\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \int_0^a \int_0^a 0\,\mathrm{d}{x}\mathrm{d}{y} = 0$

2.1.2 Cara superior

En la cara superior ( $z = a$ ) el vector $\mathbf{A}$ vale

$\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+a\mathbf{u}_{z}$

y el diferencial de superficie

$\mathrm{d}{\mathbf{S}}= \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathbf{u}_{z}$

y resulta el flujo elemental

$\Phi_2 = \int_0^a\int_0^a a\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}= a^3$

2.1.3 Cara trasera

Para la cara del fondo ( $x = 0$ )

$\mathbf{A}(x=0) = -y\mathbf{u}_{x}+y\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}$

con lo que el flujo elemental es

$\Phi_3 = \int_0^a\int_0^a y \,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}= \frac{a^3}{2}$

2.1.4 Cara frontal

Para la cara frontal ( $x = a$ )

$\mathbf{A} = (a-y)\mathbf{u}_{x}+(a+y)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{x}$

$\Phi_4 = \int_0^a\int_0^a (a-y)\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = \frac{a^3}{2}$

2.1.5 Cara izquierda

Para la cara izquierda ( $y = 0$ )

$\mathbf{A} = x\mathbf{u}_{x}+x\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}{\mathbf{S}} = -\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}$

$\Phi_5 = -\int_0^a\int_0^a x\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = -\frac{a^3}{2}$

2.1.6 Cara derecha

Para la cara derecha ( $y = a$ )

$\mathbf{A} = (x-a)\mathbf{u}_{x}+(x+a)\mathbf{u}_{y}+z\mathbf{u}_{z}$ $\mathrm{d}{\mathbf{S}} = \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z}\,\mathbf{u}_{y}$

$\Phi_6 = \int_0^a\int_0^a (x+a)\,\mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{z} = \frac{3a^3}{2}$

Sumando las seis contribuciones tenemos el flujo total

$\Phi = 0+a^3 + \frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{2}+\frac{3a^3}{2} = 3a^3$

Este mismo cálculo, por aplicación del teorema de Gauss queda

$\nabla{\cdot}\mathbf{A} = 1+1+1 = 3$

$\Phi = \int_0^a\int_0^a\int_0^a 3 \mathrm{d}{x}\,\mathrm{d}{y}\,\mathrm{d}{z} = 3a^3 = 3\tau$

Dado que la divergencia es una constante, su integral de volumen es simplemente el producto de esta constante (3) por el volumen del dominio.

2.2 Superficie cilíndrica

2.3 Superficie esférica

@@ Línea 32: / Línea 32: @@
 ====Cara superior====
-[[Imagen:cubo-cara2.gif|left|Cara superior]]En la cara superior (<math>z=a</math>) el vector <math>\mathbf{A}</math> vale
+[[Imagen:cubo-cara2.gif|left|Cara superior]]
+En la cara superior (<math>z=a</math>) el vector <math>\mathbf{A}</math> vale
 <center><math>\mathbf{A} = (x-y)\mathbf{u}_{x}+(x+y)\mathbf{u}_{y}+a\mathbf{u}_{z}</math></center>

Cálculo de flujo

De Laplace

Revisión de 16:03 1 oct 2008

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Superficie cúbica

2.1.1 Cara inferior

2.1.2 Cara superior

2.1.3 Cara trasera

2.1.4 Cara frontal

2.1.5 Cara izquierda

2.1.6 Cara derecha

2.2 Superficie cilíndrica

2.3 Superficie esférica

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