Bloque sobre plano inclinado girando
De Laplace
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Revisión de 17:54 8 feb 2012
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula puntual de masa m se mueve sobre un plano inclinado. A su vez, el
plano gira de modo que el ángulo con la horizontal es θ(t) = ωt. Sobre la masa actúa
además la gravedad . El contacto entre la partícula y el plano es liso.
- Encuentra la expresión de la ecuación diferencial que cumple la distancia de la partícula al origen de coordenadas, ρ(t), así como la expresión que da el valor de la fuerza de reacción vincular
.
- Demuestra que, para los valores apropiados de las constantes α y K, la expresión siguiente es solución de la ecuación diferencial. ¿Cuáles son esos valores de α y K?
- Si en el instante inicial tenemos ρ(0) = 0 y
encuentra cuánto valen las constantes A y B de la expresión anterior.
- ¿Se conserva la energía mecánica del sistema? Razona la respuesta.
2 Solución
2.1 Ecuación diferencial y fuerza de reacción vincular
Este problema es similar a uno hecho en clase por dos métodos distintos. Se trata de describir el movimiento de una partícula puntual sobre un plano inclinado que a su vez rota con velocidad angular uniforme ω. Hay tres formas distintas de encontrar la ecuación diferencial y la expresión de la fuerza de reacción vincular, a saber: usando coordenadas polares, coordenadas cartesianas o dinámica en sistemas de referencia no inerciales.
2.1.1 Coordenadas polares
En Dinámica de un partícula, la ecuación diferencial que determina el movimiento es la Segunda Ley de Newton
donde m es la masa de la partícula, su aceleración y
las fuerzas que actúan sobre ella. Vamos a resolverlo usando ecuaciones polares. Al final del problema explicaremos como se resuelve con los otros dos métodos.
figura vemos que
Según el enunciado del problema, el plano gira con velocidad angular constante, de modo que θ = ωt.
2.1.1.1 Aceleración de la partícula
En coordenadas polares los vectores de posición, velocidad y aceleración de un punto material son
En este problema tenemos y
. Por tanto la aceleración es
2.1.1.2 Ecuación diferencial
Ahora podemos escribir la Segunda Ley de Newton proyectada en el sistema de coordenadas cartesianas
Así pues, la ecuación diferencial es
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y la expresión que da la fuerza de reacción vincular
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2.2 Verificación de la solución del enunciado
Se nos pide ahora que verifiquemos que la función
es solución de la ecuación diferencial con los valores adecuados de las constantes α y K. Calculamos cada lado de la ecuación diferencial. La derivada de la solución aportada es
El lado izquierdo de la ecuación diferencial es
El lado derecho es
Para que el lado izquierdo y el derecho coincidan en todo instante t debe ocurrir
Es decir, la función propuesta es solución si
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2.3 Condiciones iniciales
Podemos calcular las constantes A y B cuando conocemos las condiciones iniciales. Tenemos
Para aplicar las condiciones iniciales tenemos en cuenta que
Tenemos
Sustituyendo los valores de α y B del apartado anterior tenemos
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2.4 Conservación de la energía mecánica
En este sistema no se conserva la energía mecánica. Aunque no hay rozamiento, la fuerza de reacción vincular realiza trabajo sobre la partícula, y esta fuerza de reacción vincular no es conservativa. Podemos calcular la potencia que la fuerza de reacción vincular transfiere a la partícula
Al ser distinta de cero, es una fuerza no conservativa que realiza trabajo, por lo que la energía mecánica no se conserva. La fuente de esta potencia es el motor que está haciendo girar el plano.
2.5 Resolución con sistemas de referencia no inerciales
Otra forma de encontrar la ecuación diferencial y la expresión de la fuerza de reacción vincular es aplicar la Segunda Ley de Newton en un triedro que gire solidariamente con el plano (sólido "0"). Dado que es un sistema de referencia no inercial hay que corregir la Segunda Ley introduciendo las fuerzas de inercia
Veamos cada uno de los términos de esta ecuación.
En el término de la izquierda, representa la aceleración de la partícula respecto del plano. Tenemos
El peso en el triedro "0" es
La fuerza de reacción vincular es
La fuerza de arrastre se expresa
El origen del triedro, O es un punto fijo, y la aceleración angular del movimiento {01} es nula. Por tanto
Con lo que la fuerza de arrastre es
Por último, la fuerza de Coriolis es
Escribimos la Segunda Ley de Newton para sistemas de referencia no inerciales proyectada en el triedro "0"
Obtenemos las mismas expresiones que en el primer apartado.
2.6 Resolución usando coordenadas cartesianas
Por último vamos a resolver el problema usando coordenadas cartesianas. Usamos el triedro "1", que es inercial. La Segunda Ley de Newton en este triedro es
Proyectando en el triedro "1" tenemos
EL peso en este triedro es
y la fuerza de reacción vincular es
Igualando las componentes en y
obtenemos dos ecuaciones escalares.
Pasando el término del segundo miembro de la segunda ecuación a la izquierda, dividimos una por otra para eliminar Φ. Multiplicando en aspa la expresión que queda reobtenemos la ecuación diferencial para ρ(t). Después despejamos Φ(t) de una de las dos ecuaciones.
Como se puede ver, este método es el más complicado de los tres.