Rodadura y pivotamiento de una pelota
De Laplace
| Línea 7: | Línea 7: | ||
==Velocidades angulares== | ==Velocidades angulares== | ||
| + | Conocemos la velocidad de tres puntos del sólido: las dos que nos da explícitamente y la velocidad del punto de contacto de la bola con el suelo (el origen de coordenadas). Puesto que nos dicen que rueda y pivota, pero no desliza, la velocidad de dicho punto es nula | ||
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| + | <center><math>\vec{r}_0=\vec{0}\qquad\qquad \vec{v}_0 = \vec{0}</math></center> | ||
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| + | Podemos hallar la velocidad resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Suponemos una velocidad angular desconocida | ||
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| + | <center><math>\vec{\omega} = \omega_x\vec{\imath}+\omega_y\vec{\jmath}+\omega_z\vec{k}</math></center> | ||
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| + | y aplicando la expresión del campo de velocidades respecto al punto O. | ||
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| + | <center><math>\vec{r}_1 = \overbrace{\vec{v}_0}^{=\vec{0}}+vec{\omega}\times\vec{r}_1\qquad\qquad \vec{v}_2=\vec{\omega}\times\vec{r}_2</math></center> | ||
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| + | Aplicando esto al primer punto | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_1=(2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k})v_0 = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ R & 0 & R\end{matrix}\right| = \omega_yR\vec{\imath}+(\omega_z-\omega_x)R\vec{\jmath}-\omega_yR\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Igualando los dos vectores componente a componente | ||
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| + | <center><math>\left\{\begin{array}{rcl} 2v_0 & = & \omega_y R \\ v_0 & = & (\omega_z-\omega_x)R \\ -2v_0 & = & -\omega_y R\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \omega_y = \frac{2v_0}{R}</math></center> | ||
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| + | Para obtener las otras dos componentes precisamos, además de la ecuación que ya tenemos, la correspondiente al tercer punto | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_1=(2\vec{\imath}+3\vec{\jmath}+2\vec{k})v_0 = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ \omega_x & \omega_y & \omega_z \\ -R & 0 & R\end{matrix}\right| = \omega_yR\vec{\imath}-(\omega_z+\omega_x)R\vec{\jmath}+\omega_yR\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Llegamos así al sistema | ||
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| + | <center><math>\left\{\begin{array}{rcl} \omega_z-\omega_x & = & \displaystyle \frac{v_0}{R} \\ & \\ \omega_z+\omega_x & = & \displaystyle -\frac{3v_0}{R}\end{array}\right.\qquad\Rightarrow\qquad \omega_x= -\frac{2v_0}{R}\qquad\omega_z = -\frac{v_0}{R}</math></center> | ||
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| + | Reuniendo las tres componentes obtenemos el vector velocidad angular | ||
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| + | <center><math>\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath}-\vec{k})\frac{v_0}{R}</math></center> | ||
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| + | Esta velocidad angular es suma de la de pivotamiento y la de rodadura. | ||
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| + | ;Velocidad angular de pivotamiento: es la componente perpendicular al plano de contacto | ||
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| + | <center><math>\vec{\omega}_p = -\frac{v_0}{R}\vec{k}</math></center> | ||
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| + | ;Velocidad angular de rodadura: es la parte paralela a la superficie de contacto. | ||
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| + | <center><math>\vec{\omega} = \left(-2\vec{\imath}+2\vec{\jmath})\frac{v_0}{R}</math></center> | ||
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==Velocidad del centro== | ==Velocidad del centro== | ||
==Posición del EIR== | ==Posición del EIR== | ||
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (GIE)]] | ||
Revisión de 08:05 12 ene 2012
Contenido |
1 Enunciado
Una pelota de radio R rueda y pivota sin deslizar sobre el plano horizontal z = 0, de forma que las velocidades de los puntos 
y 
valen respectivamente 
y 
.
- Determine la velocidad angular de rodadura y la de pivotamiento.
- Halle la velocidad del centro de la bola.
- Determine la ecuación del eje instantáneo de rotación.
2 Velocidades angulares
Conocemos la velocidad de tres puntos del sólido: las dos que nos da explícitamente y la velocidad del punto de contacto de la bola con el suelo (el origen de coordenadas). Puesto que nos dicen que rueda y pivota, pero no desliza, la velocidad de dicho punto es nula
Podemos hallar la velocidad resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Suponemos una velocidad angular desconocida
y aplicando la expresión del campo de velocidades respecto al punto O.
Aplicando esto al primer punto
Igualando los dos vectores componente a componente
Para obtener las otras dos componentes precisamos, además de la ecuación que ya tenemos, la correspondiente al tercer punto
Llegamos así al sistema
Reuniendo las tres componentes obtenemos el vector velocidad angular
Esta velocidad angular es suma de la de pivotamiento y la de rodadura.
- Velocidad angular de pivotamiento
- es la componente perpendicular al plano de contacto
- Velocidad angular de rodadura
- es la parte paralela a la superficie de contacto.
