Movimiento de un sistema biela-manivela
De Laplace
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<center><math>\vec{v}_B = -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}</math></center> | <center><math>\vec{v}_B = -2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}</math></center> | ||
==Velocidad angular== | ==Velocidad angular== | ||
| + | Una vez que tenemos la velocidad de dos partículas en un movimiento plano, podemos hallar la velocidad angular de múltiples formas. Una de ellas es empleando el teorema de Chasles | ||
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| + | <center><math>\vec{v}_B-\vec{v}_A = \vec{\omega}\times(\vec{r}_B-\vec{r}_A)</math></center> | ||
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| + | Sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento, <math>\vec{\omega}=\omega\vec{k}</math>. Sustituyendo todos los valores conocidos | ||
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| + | <center><math>(-2L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath})-(-L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+L\dot{\theta}\cos(\theta)\vec{\jmath}) = \omega\vec{k}\times(2L\cos(\theta)\vec{\imath}-(L\cos(\theta)\vec{\imath}+L\,\mathrm{sen}(\theta)\vec{\jmath}))</math></center> | ||
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| + | Operamos en esta expresión y obtenemos | ||
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| + | <center><math>-L\dot{\theta}\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}\right) = \omega L\left(\mathrm{sen}(\theta)\vec{\imath}+\cos(\theta)\vec{\jmath}\right)</math></center> | ||
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| + | Igualando componente a componente llegamos, por partida doble, a que | ||
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| + | <center><math>\omega=-\dot{\theta}\qquad\qquad\vec{\omega}=-\dot{\theta}\vec{k}</math></center> | ||
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| + | Podemos entender este resultado simplemente observando que mientras la manivela gira hacia la izquierda, la biela gira hacia la derecha el mismo ángulo (aunque respecto a un centro diferente que ahora calcularemos). | ||
==Posición del CIR== | ==Posición del CIR== | ||
==Aplicación numérica== | ==Aplicación numérica== | ||
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (GIE)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (GIE)]] | ||
Revisión de 22:47 11 ene 2012
Contenido |
1 Enunciado
Un sistema biela-manivela está formado por: una barra fija (el eje “1”); una barra (la manivela “0”) de longitud L, articulada en el punto O del eje y que forma un ángulo θ(t) con él; y una segunda barra (la biela “2”), también de longitud L, articulada en el punto A de la manivela y cuyo segundo extremo B está obligado a deslizar por el eje.
- Halle las velocidades de los puntos A y B de la biela.
- Determine la velocidad angular de la biela respecto al eje.
- Localice el centro instantáneo de rotación (CIR) de la biela respecto al eje.
- Suponga el caso
y que en un instante dado tg(θ) = 0.75 siendo 
. Calcule la velocidades respecto al eje de los puntos A y B de la biela, su velocidad angular y las coordenadas del CIR.
2 Velocidades de A y B
2.1 Velocidad de A
El punto A describe, respecto al eje fijo, un movimiento circular. Su posición en cada instante es
donde hemos elegido un sistema de referencia centrado en O, cuyo eje X es el eje fijo “1” y cuyo eje Y es el normal a él.
Derivando la posición de A respecto al tiempo obtenemos su velocidad
2.2 Velocidad de B
Para calcular la velocidad de B, determinamos en primer lugar su posición. El triángulo OAB es isósceles, por lo que el ángulo que forma la biela con el eje es también θ. Por tanto
Derivando aquí respecto al tiempo
3 Velocidad angular
Una vez que tenemos la velocidad de dos partículas en un movimiento plano, podemos hallar la velocidad angular de múltiples formas. Una de ellas es empleando el teorema de Chasles
Sabemos que la velocidad angular es perpendicular al plano del movimiento, 
. Sustituyendo todos los valores conocidos
Operamos en esta expresión y obtenemos
Igualando componente a componente llegamos, por partida doble, a que
Podemos entender este resultado simplemente observando que mientras la manivela gira hacia la izquierda, la biela gira hacia la derecha el mismo ángulo (aunque respecto a un centro diferente que ahora calcularemos).
